Jak se počítají determinanty? [Prosk]

Determinanty matic $ 2\times 2$ a $ 3\times 3$ se většinou vyplatí počítat přímo pomocí známých vzorečků (v případě matic $ 3\times 3$ se používá název Sarrusovo pravidlo)

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} a_{11} & a_{12}\cr a_{21} & a_{22}\end{array}\right\vert\hspace{3mm}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\vadjust{\kern2mm}$  
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\cr a_{21} & a_{22} &
a_{23}\cr a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-$  

   to $ \hfill\ds
-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{32}a_{23}\,.$$\displaystyle \hss
$


Pokud máme zpracovat větší matici, můžeme vždy použít rozvoj podle sloupce či řádku (viz příklad 8.1), čímž determinant $ n\times n$ vyjádříme pomocí $ n$ determinantů $ (n-1)\times (n-1)$. Než provedeme tento rozvoj, rozhodně se vyplatí vynulovat23 všechny prvky kromě jednoho ve sloupci (řádku), podle kterého budeme rozvíjet: tím nám zbude v rozvoji jediný člen. Determinant se totiž nezmění, pokud k libovolnému řádku přičteme lineární kombinaci ostatních řádků. U determinantu $ (n-1)\times (n-1)$ použijeme stejnou techniku a postup opakujeme, až se dostaneme k determinantu $ 3\times 3$.

Cesta postupného rozvíjení ale vede obecně k výrazům, které získáme přímým výpočtem z definice determinantu. To je těžkopádné v případě determinantů s neznámými prvky, nebo determinantů se sice číselnými prvky, ale s předem neurčeným řádem. Obecná metoda výpočtu takových determinantů neexistuje, neuvažujeme-li přímé vyjádření z definice. V mnoha případech lze ale použít nějaký trik, který výpočet velmi zjednoduší, a my v tomto úvodu několik takových postupů představíme.