Metoda převodu na trojúhelníkový tvar

Někdy se lze i u matic $ n\times n$ dopracovat pomocí řádkových úprav k hornímu (dolnímu) trojúhelníkovému tvaru. Determinant horní (dolní) trojúhelníkové matice je pak roven součinu elementů na diagonále, jak se lze přesvědčit přímo v definici. Povolená úprava je v tomto případě pouze přičíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků. Pokud nějaký řádek násobíme číslem $ \lambda$, zvětší se i determinant $ \lambda$-krát.


Příklad 1.     Vypočtěte determinant matice $ n\times n$

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \cr
1 & ...
...ts & & & \ddots & \vdots \cr
1 & 1 & 1 &\dots & 0\cr
\end{array}\right\vert
$


Řešení: Odečteme první řádek od všech ostatních

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \cr
0 &-...
...s & \vdots \cr
0 & 0 & 0 &\dots & -1\cr
\end{array}\right\vert = (-1)^{n-1}
$

Příklad 2.    Vypočtěte determinant

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccc}
a_1 & x & x & \dots & x \cr
x ...
...s & & & \ddots & \vdots \cr
x &x & x &\dots & a_n\cr
\end{array}\right\vert
$


Řešení: Odečteme první řádek od všech ostatních:

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccc}
a_1 & x & x & \dots & x \cr
x-...
...& \ddots & \vdots \cr
x-a_1 &0 & 0 &\dots & a_n-x\cr
\end{array}\right\vert
$

Z prvního sloupce vytkneme $ a_1-x$, z druhého $ a_2-x$, atd. až z $ n$-tého $ a_n-x$. Díky multilinearitě máme tedy

$\displaystyle D=(a_1-x)\cdots(a_n-x)
\left\vert\begin{array}{ccccc}
\frac {a_...
...ts & & & \ddots & \vdots \cr
-1 &0 & 0 &\dots & 1\cr
\end{array}\right\vert
$

Pro lepší estetický dojem napíšeme $ \frac{a_1}{a_1-x}$ jako $ 1+\frac {x}{a_1-x}$, všechny sloupce přičteme k prvnímu a označíme $ A=1+\sum_i x/(a_i-x)$

$\displaystyle D=(a_1-x)\dots(a_n-x)
\left\vert\begin{array}{ccccc}
A&\frac x{...
...dots & & & \ddots & \vdots \cr
0 &0 & 0 &\dots & 1\cr \end{array}\right\vert
$

   to $ \hfill\ds =x(a_1-x)\dots(a_n-x)\left(\frac1{x}+\frac 1{a_1-x}+\frac 1{a_2-x}+\dots+\frac 1{a_n-x}\right)\,.$$\displaystyle \hss
$