Vytýkání lineárních výrazů

Pokud se v matici $ A$ vyskytuje proměnná $ x$, můžeme na determinant $ D(x)=\vert A\vert$ hledět jako na mnohočlen v $ x$. Po určité důmyslné úpravě matice můžeme zjistit, že $ D$ musí být dělitelný nějakým lineárním výrazem: například pokud je jeden sloupec násobkem $ x-1$ a žádný prvek v matici neobsahuje $ (x-1)^{-1}$. Pokud najdeme takových (po dvou nesoudělných) dělitelů více, musí být $ D(x)$ dělitelný i jejich součinem. Pokud je stupeň tohoto součinu $ S(x)$ stejný jako stupeň $ D(x)$, musí nutně platit $ D(x)=\alpha S(x)$ pro nějaké $ \alpha\in${\bb C}. Toto číslo zjistíme například tak, že srovnáme členy s nejvyšší mocninou $ x$$ D(x)$ a $ S(x)$.

Tento postup lze zobecnit i pro determinanty s více proměnnými.


Příklad 3.     Vypočtěte determinant

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{cccc}
0 &x & y & z \cr
x & 0 & z &y \cr
y & z & 0 & x \cr
z & y & x & 0 \cr
\end{array}\right\vert
$


Řešení: Jestliže k prvnímu sloupci přičteme všechny ostatní sloupce, vidíme, že $ D$ je dělitelný $ x+y+z$. Jestliže k prvnímu sloupci přičteme druhý a odečteme od něj třetí a čtvrtý sloupec, můžeme vytknout $ -x+y+z$. Podobně, jak tušíme ze symetrie matice vůči záměnám $ x,y,z$, lze vytknout i $ x-y+z$ (po $ (1)+(3)-(2)-(4)\to (1)$), a $ x+y-z$ (po $ (1)+(4)-(2)-(3)\to (1)$). Jelikož jsou $ x$, $ y$, $ z$ nezávislé proměnné, jsou tyto čtyři vytknuté členy po dvojicích vzájemně nesoudělné a determinant je dělitelný $ S=(x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y-z)$.

Vidíme, že $ D$ jako funkce proměnné $ x$ je polynom čtvrtého stupně, (stejně jako v $ y$ a $ z$), což se shoduje se $ S$. Musí proto platit $ D=\alpha S$. Vidíme, že v $ D$ je člen $ z^4$ s koeficientem $ 1$ ( $ a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$, příslušná permutace je sudá). Naproti tomu v $ S$ je $ -z^4$, tedy musí být $ \alpha=-1$ a

$\displaystyle D=-(x+y+z)(y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)\,.
$

Příklad 4.     Vypočtěte Vandermondův determinant $ n$-tého řádu pomocí vytýkání lineárních výrazů.

$\displaystyle D_n=\left\vert\begin{array}{ccccc}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1...
...& \vdots \cr
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \cr
\end{array}\right\vert
$


Řešení: Na determinant nahlížíme jako na polynom neznámé $ x_n$ s koeficienty, které závisí na $ x_1,\dots,x_{n-1}$. Vidíme, že $ D_n$ je nula, pokud $ x_n=x_1$, $ x_n=x_2$, $ \ldots$, nebo $ x_n=x_{n-1}$. Determinant proto musí být dělitelný $ x_n-x_1$, $ x_n-x_2$,$ \dots$, $ x_n-x_{n-1}$. Všechny tyto výrazy jsou po dvou nesoudělné (poněvadž $ x_1, x_2, \dots, x_n$ jsou nezávislé24). To znamená, že $ D_n$ je dělitelný jejich součinem

$\displaystyle D_n=q(x_1,x_2,\dots,x_n)(x_n-x_1)(x_n-x_2)\dots(x_n-x_{n-1})\,,$ (45)

kde $ q$ je polynom v uvedených proměnných.

Rozložíme-li $ D_n$ podle posledního řádku, vidíme, že je to polynom stupně $ n-1$ vzhledem k $ x_n$, přičemž koeficient členu $ x^{n-1}_n$ je roven Vandermondovu determinantu $ D_{n-1}$ v proměnných $ x_1$, $ x_2,$ $ \dots,$ $ x_{n-1}$. Součin lineárních výrazů v pravé části rovnice 45 obsahuje $ x^{n-1}_n$ s koeficientem 1, tudíž mnohočlen $ q(x_1,\dots,x_n)$ nesmí obsahovat $ x_n$. Srovnáme-li koeficienty u $ x^{n-1}_n$ na obou stranách rovnice, dostaneme $ D_{n-1}=q(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})$, neboli

$\displaystyle D_n=D_{n-1}(x_n-x_1)(x_n-x_2)\dots(x_n-x_{n-1})\,.$

Použijeme-li tuto rovnost, jen zaměníme $ n$ za $ n-1$, pak máme $ D_{n-1}=D_{n-2}(x_{n-1}-x_1)\dots(x_{n-1}-x_{n-2})$. Tento výraz pro $ D_{n-1}$ dosadíme do vztahu pro $ D_n$ a opakujeme tuto úvahu, až se dostaneme k  $ D_2=D_1(x_2-x_1)$, $ D_1=1$. Závěr je tedy

$\displaystyle D_{n-1}=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\dots(x_n-x_1)\dots(x_n-x_{n-1})=
$

   to $ \hfill\ds =\prod_{i>j}(x_i-x_j)\,.$$\displaystyle \hss
$