Vyjádření determinantu jako sumy determinantů s využitím linearity

Některé determinanty lze lehce spočítat tak, že je rozložíme na součet determinantů téhož řádu podle věty

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & \...
...r
\vdots &\vdots &\ddots\cr
b_{n1} & a_{n2} &\dots\cr\end{array}\right\vert
$

Příklad 7.    

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{cccc}
a_1+b_1&a_1+b_2& \dots &a_1+b_n\...
...\ddots&\vdots \cr
a_n+b_1&a_n+b_2& \dots &a_n+b_n\cr
\end{array}\right\vert
$


Řešení: Tento determinant lze vzhledem k prvnímu řádku rozložit na dva determinanty, každý z nich vzhledem k druhé řádce lze opět rozložit na dva atd. Když dojdeme k poslední řádce, dostaneme celkem $ 2^n$ determinantů. Každý z nich lze popsat $ n$-ticí $ (x_1,\ldots,x_n)$, kde každé číslo je buď nula nebo jednička, $ x_i=0$, resp. $ x_i=1$ znamená, že $ i$-tý řádek je $ a_i,\ldots,a_i$, resp. $ b_1,\ldots,b_n$.

Dva řádky prvního typu jsou ale úměrné a řádky druhého typu jsou si přímo rovny. Při $ n>2$ každý získaný determinant obsahuje alespoň dva řádky alespoň jednoho typu, a je tedy nulový. Tedy

$\displaystyle D_1=a_1+b_1\,,\ D_2= \left\vert\begin{array}{cc}
a_1 & a_1\cr
b...
...{cc}
b_1 & b_2\cr
a_2 &a_2 \cr
\end{array}\right\vert\,,\ D_n=0\,,\ n>2\,.
$