Přičtení konstanty ke všem prvkům matice

Tento postup se používá v těch případech, kdy po přičtení stejného čísla ke všem prvkům matice dostaneme determinant, který lze spočítat a u něhož lze pohodlně určit algebraické doplňky všech prvků. Metoda je založena na vlastnosti, že pokud ke všem prvkům $ A$ přičteme stejné číslo $ x$, pak se $ \mathop{\rm det}\nolimits A$ zvětší o $ x$-krát součet algebraických doplňků všech prvků matice $ A$.

Podívejme se na

$\displaystyle D= \left\vert\begin{array}{ccc}
a_{11} &\dots& a_{1n}\cr
\vdots...
...\vdots&\ddots&\vdots\cr
a_{n1}+x &\dots& a_{nn}+x\cr
\end{array}\right\vert
$

Rozložíme $ D'$ na dva determinanty vzhledem k první řádce, každý z nich na dva determinanty vzhledem k druhé řádce a pokračujeme, až dostaneme $ D$ pomocí součtu $ 2^n$ determinantů (podobně jako u příkladu 7). Ty z nich, které obsahují více než jednu řádku prvků rovných $ x$, jsou rovny nule. Složky obsahující jednu řádku prvků rovných $ x$ rozložíme podle této řádky. Dostaneme

$\displaystyle D'=D+x\sum_{i,j=1}A_{ij}\,,
$

kde $ A_{ij}$ je determinant matice $ A$ bez $ i$-tého řádku a $ j$-tého sloupce násobený znaménkem $ (-1)^{i+j}$, což jsme chtěli dokázat. Výpočet $ D'$ tedy vede k výpočtu $ D$ a sumy jeho algebraických doplňků.


Příklad 8.     Vypočtěte determinant $ D_n$ z příkladu 2.


Řešení: Odečteme od všech prvků číslo $ x$ a dostaneme determinant diagonální matice

$\displaystyle D'= \left\vert\begin{array}{cccc}
a_1-x &0&\dots&0\cr
0&a_2-x& &0\cr
\vdots& &\ddots&\vdots\cr
0&0&\dots&a_n-x\cr
\end{array}\right\vert
$

Algebraické doplňky prvků $ D'$, které neleží na hlavní diagonále jsou rovny nule. Pro prvek na diagonále je algebraický doplněk roven součinu všech zbylých prvků na diagonále. Proto

$\displaystyle D_n=(a_1-x)\ldots (a_n-x)+x\sum_{i=1}^n\prod_{j\not= i} (a_j-x)\,,
$

což je stejný výsledek jako v příkladu 2.