Obyčejné determinanty s čísly

Úkol: Spočítejte determinant

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} 2&-5&1&2\cr-3&7&-1&4\cr5&-9&2&7\cr4&-9&1&2\cr\end{array}\right\vert
$

Zjistěte, jaká metoda je pro vás nejpohodlnější.


Řešení:


1. Zkusíme nejprve rozvoj podle prvního řádku.

$\displaystyle D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} 7&-1&4\cr ...
...begin{array}{ccccccccccccc} -3&-1&4\cr 5&2&7\cr 4&1&2\cr\end{array}\right\vert+$  
    $\displaystyle +1\cdot (-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} -3&7&4\c...
...gin{array}{ccccccccccccc} -3&7&-1\cr 5&-9&2\cr 4&-9&1\cr\end{array}\right\vert=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot 60-5\cdot 21+1\cdot (-45)+(-2)\cdot 3=-36\,.$  

Museli jsme tedy vypočítat čtyři determinanty $ 3\times 3$.


2. Většinou si můžeme ušetřit dost práce, pokud nejprve pomocí řádkových úprav vynulujeme jeden sloupec či řádek. Řádkovou úpravou nyní myslíme to, že k libovolnému řádku můžeme přičíst lineární kombinaci ostatních řádků. Při takové úpravě se determinant nezmění. Můžeme také libovolný řádek vynásobit číslem $ \lambda$, ale pak se determinant změní $ \lambda$-krát (je tudíž vhodné žádat $ \lambda\not=0$).

V našem případě nám dá nejméně práce vynulovat třetí sloupec. Provedeme úpravy $ (2)+(1)\to (2)$, $ (3)-2\cdot (1)\to (3)$, $ (4)-(1)\to (4)$ a rozvineme $ D$ podle třetího sloupce

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} 2&-5&1&2\cr-1&2&0&6\cr 1...
...t\begin{array}{ccccccccccccc} -1&2&6\cr 1&1&3\cr 2&-4&0\end{array}\right\vert
$

Jelikož jsme teď už zpohodlněli a obáváme se, že i při výpočtu determinantu $ 3\times 3$ uděláme chybu, provedeme ještě úpravu $ (1)-2\cdot (2)\to (1)$. Tím dosáhla námaha potřebná pro výpočet naprostého minima

$\displaystyle D=\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} -3&0&0\cr 1&1&3\cr 2&-4&...
...{array}{ccccccccccccc} 1&3\cr -4&0\end{array}\right\vert=-3\cdot(0+12)=-36\,.
$


3. Pro milovníky Gaussovy eliminace existuje ještě další možnost. Pomocí řádkových úprav uvedených v bodě 2 můžeme matici za znakem determinantu převést na horní trojúhelníkový tvar. Determinant je pak roven součinu čísel na diagonále.

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} 2&-5&1&2\cr-3&7&-1&4\cr5&-...
...ackrel{=}{\begin{array}{c}(3)+7\cdot (2)\to (3)\cr (4)+(2)\to (4)\end{array}}
$

   to $ \hfill\ds
=\frac{1}{4}\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc} 2&-5&1&2\cr0&-1&1&14\cr0&0&6&102\cr0&0&0&12\cr\end{array}
\right\vert=-36\,.$$\displaystyle \hss
$

$ \ast$KV$ \ast$