Determinant s řeckými písmeny

Úkol: Pro $ \alpha,\beta\in${\bb C}, $ \alpha\neq\beta$ spočtěte determinant řádu $ n$

$\displaystyle D_n=\left\vert\begin{array}{ccccc}
\alpha+\beta&\alpha\beta&0&\d...
...vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\dots&\alpha+\beta
\end{array}\right\vert$


Řešení: Z rozvoje determinantu podle prvního sloupce plyne rekurentní relace

$\displaystyle D_n=(\alpha+\beta)D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}\,.$

Napíšeme-li si výsledek pro několik prvních $ n$,
$\displaystyle D_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$  
$\displaystyle D_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$  
$\displaystyle D_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^3\,,$  

snadno uhodneme výsledek

$\displaystyle D_n={\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}\over\alpha-\beta}\,,$

který dokážeme indukcí.

$ \ast$TB$ \ast$