Grupová rozcvička aneb Symetrie čtyřstěnu

Úkol: Popište grupu symetrií tetraedru a ukažte, že není komutativní. Nalezněte všechny její netriviální podgrupy neobsahující zrcadlení a zjistěte, které jsou komutativní. Studujte strukturu grupy i podgrup (rozložte je na součin podgrup). Srovnejte s rozkladem $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ v kapitole ,,Řešil byste rovnici pátého stupně?'' Pěstitelské příručky [PLA].

Prvkem symetrie daného tělesa je každé shodné zobrazení (tj. které zachovává vzdálenosti libovolných dvou bodů), které zobrazí těleso samo na sebe. Pro čtyřstěn to znamená, že zobrazí každý z vrcholů do některého z vrcholů.


Řešení: Kdo nemá zkušenosti s grupami, nechť si nejprve ověří, že množina symetrií čehokoliv je skutečně grupa (s operací skládání): to znamená, že skládání je uzavřené, asociativní a má jednotkový a inverzní prvek. Studium symetrií je hlavní aplikací teorie grup.

Odpověď na první otázku je velmi jednoduchá. Označíme-li vrcholy čísly 1,2,3,4, je grupa symetrií izomorfní s grupou permutací této množiny $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ (symetrickou grupou). A proč? Je zřejmé, že $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ obsahuje všechny symetrie, neboť při shodném zobrazení zachovávajícím tetraedr se libovolný vrchol jednoduše musí zobrazit zase na místo některého z vrcholů. Naopak libovolná permutace představuje symetrii, neboť libovolné dva vrcholy jsou vždy ve stejném vztahu, tedy sousedí. Nemůže se proto stát, že by se některá hrana (či jiná vzdálenost dvou bodů) natáhla či zkrátila.

Obrázek: Symetrie čtyřstěnu: zrcadlení, rotace kolem dvoučetné a tříčetné osy.
\includegraphics[angle=0, scale=0.6]{OBRAZKY/tetr.eps}

Geometricky se jedná o tyto symetrie: rotace o  $ \pm 120^\circ $ kolem os procházejících vrcholem a středem protilehlé stěny (8 různých), rotace o  $ 180^\circ $ kolem os, které spojují středy dvou protilehlých hran (3 různé) a identitu; to je celkem 12 přímých symetrií, odpovídajících sudým permutacím $ {\mbox{{\bb A}}}_4$. Zbylých dvanáct operací získáme složením libovolného zrcadlení $ s$ (které zachovává čtyřstěn; rovina zrcadlení prochází jednou hranou a je kolmá na protější hranu) s postupně jmenovanými přímými symetriemi; takto získáme 12 různých lichých permutací, mezi nimi i jednoduchá zrcadlení.

Označíme-li $ {\mbox{{\bb S}}}_2=\{1,s\}$ (grupu% latex2html id marker 66787
\setcounter{footnote}{5}\fnsymbol{footnote} generovanou oním jedním zrcadlením), pak jsme právě řekli, že $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ je kartézským součinem dvou svých podgrup $ {\mbox{{\bb A}}}_4$ a $ {\mbox{{\bb S}}}_2$; každý prvek $ g\in {\mbox{{\bb S}}}_4$ lze zapsat například jako $ as$, $ a\in {\mbox{{\bb A}}}_4$, $ s\in {\mbox{{\bb S}}}_2$. Všimněte si, že $ s$ (tedy $ {\mbox{{\bb S}}}_2$) můžeme vybrat více způsoby a stále dostaneme stejnou $ {\mbox{{\bb S}}}_4$. Pokud ale zvolíme $ {\mbox{{\bb S}}}_2$ pevně, je pro každé $ g\in {\mbox{{\bb S}}}_4$ rozklad $ g\mapsto (a,s)$ jednoznačný. Takový rozklad je jednoznačný pro libovolnou podgrupu.

Nyní jsme ale grupu rozložili pouze jako množinu prvků a nezajímali se o to, jak operace na grupě ,,dodržuje'' tento rozklad. Naším cílem je psát $ g_1g_2=g_3$ jako $ (a_1,s_1)\ast (a_2,s_2)=(a_3,s_3)$; chceme rozložit i grupovou operaci: násobení dvou prvků $ g_1$, $ g_2$ $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ proběhne tak, že každý rozložíme na dvě složky, a provedeme určitou operaci s prvními složkami (přičemž zůstáváme v  $ {\mbox{{\bb A}}}_4$) a pak určitou operaci s druhými složkami (zůstáváme v  $ {\mbox{{\bb S}}}_2$) a získáme přímo rozklad výsledku $ g_1g_2$ do složek. Tím definitivně rozdělíme $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ na dvě menší ,,nezávislé'' části.

Jak musí vypadat operace $ \ast$? Nejjednodušší myslitelný předpis $ (a_1,s_1)\ast\allowbreak (a_2,s_2)=(a_1a_2,s_1s_2)$ nefunguje, neboť to bychom tvrdili, že $ a_1s_1a_2s_2=g_1g_2$ (tedy to, co je vlevo) je totéž co $ a_1a_2s_1s_2$ (to, co je vpravo). Prvky z grup $ {\mbox{{\bb A}}}_4$ a $ {\mbox{{\bb S}}}_2$ spolu ale nekomutují, takže musíme použít složitější předpis

$\displaystyle (a_1,s_1)(a_2,s_2)=(a_1s_1a_2s_1^{-1},s_1s_2). $

Ten odpovídá $ a_1s_1a_2s_2=a_1s_1a_2s_1^{-1}s_1s_2$, což platí. Abychom splnili naše předsevzetí, že násobení ,,na prvním místě'' se bude odehrávat pouze v  $ {\mbox{{\bb A}}}_4$, musíme k tomu předpokládat, že $ {\mbox{{\bb A}}}_4$ je invariatní podgrupa% latex2html id marker 66855
\setcounter{footnote}{6}\fnsymbol{footnote}, tedy že pro libovolné $ s_1\in {\mbox{{\bb S}}}_2$ zůstane $ s_1a_2s_1^{-1}$ stále v  $ {\mbox{{\bb A}}}_4$. Tento předpis se zapisuje jako $ (a_1,s_1)(a_2,s_2)=(a_1\alpha_{s_1}^f(a_2),s_1s_2)$ a máme jím na mysli, že jsme každému prvku ze $ {\mbox{{\bb S}}}_2$ přiřadili pomocí $ f$ nějaký automorfismus $ {\mbox{{\bb A}}}_4\to {\mbox{{\bb A}}}_4$; zde jsme tedy k $ s_1$ přiřadili zobrazení $ a_1\mapsto s_1a_1s_1^{-1}$, což je druhá nejjednodušší volba $ f$, která může nastat. K nejjednoduššímu příkladu se vrátíme za chvíli.

Celý tento popis se zapisuje jako grupové násobení% latex2html id marker 66883
\setcounter{footnote}{7}\fnsymbol{footnote} $ {\mbox{{\bb S}}}_4={\mbox{{\bb A}}}_4\rtimes^f {\mbox{{\bb S}}}_2$ (polopřímý součin daný zobrazením $ f:{\mbox{{\bb S}}}_2\to \mathop{{\rm Aut}}({\mbox{{\bb A}}}_4)$) či $ {\mbox{{\bb S}}}_2={\mbox{{\bb S}}}_4/{\mbox{{\bb A}}}_4$, čili faktorizace (rozložení) grupy $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ na třídy $ {\mbox{{\bb A}}}_4\cdot 1$ a $ {\mbox{{\bb A}}}_4\cdot s$.

Zaměřme se nyní na podgrupy $ {\mbox{{\bb A}}}_4$ a odložme nekomutativitu. Náš plán bude najít všechny malé (a dobře ,,viditelné'') podgrupy a zkoumat, co vznikne za grupu, když k takovým podgrupám přidáme další prvek. V  $ {\mbox{{\bb A}}}_4$ jsou obsaženy cyklické podgrupy, tedy ty, které jsou izomorfní se {\bb Z}$ _p$ (sčítáním modulo prvočíslo $ p$). Jsou tudíž vždy komutativní a typicky se jedná o rotace kolem $ n$-četné% latex2html id marker 66917
\setcounter{footnote}{8}\fnsymbol{footnote} osy symetrie; takové podgrupy najdeme čtyři tříprvkové {\bb Z}$ _3$ (rotace o $ 120^\circ $, $ t_1,t_2,t_3,t_4$, jejich inverzní prvky a identita) a tři dvouprvkové {\bb Z}$ _2$ (rotace o $ 180^\circ $, $ d_1,d_2,d_3$). Složením dvou různých rotací o $ 180^\circ $ dostaneme rotaci o $ 180^\circ $ podle třetí dvoučetné osy:

$\displaystyle [1,2,3,4]\ \to\ [2,1,4,3]\ \to\ [3,4,1,2],$    nebo $\displaystyle d_1d_2=d_3$

čili vidíme, že všechny rotace o $ 180^\circ $ tvoří (čtyřprvkovou) podgrupu, která je v [PLA] označena $ {\mbox{{\bb B}}}_4$; ta je samozřejmě% latex2html id marker 66946
\setcounter{footnote}{9}\fnsymbol{footnote}izomorfní s kartézským součinem {\bb Z}$ _2$ se {\bb Z}$ _2$ s operací sčítání po složkách, tzv. diedrickou grupou $ {\mbox{{\bb D}}}_2$, a tedy je i komutativní. V geometrickém modelu $ {\mbox{{\bb B}}}_4$ vidíme komutativitu tak, že složením rotací o $ 180^\circ $ kolem dvou os dostaneme rotaci kolem třetí osy, a ta je jen jedna (nezávisle na tom, v jakém pořadí jsme ony dvě rotace složili).

Diedrickou grupu (viz také 2.2) lze opět získat pomocí grupového násobení {\bb Z}$ _2$ a {\bb Z}$ _2$. Prvek $ d_i\in {\mbox{{\bb D}}}_2$ zapíšeme jako $ (r_i,s_i)$, $ r_i,s_i\in$   {\bb Z}$ _2$ a násobení nyní můžeme (na rozdíl od $ {\mbox{{\bb A}}}_4\rtimes^f
\mbox{{\bb Z}}_2$) provést jednodušeji: $ (r_1,s_1)\ast (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2)$, a to díky $ r_2s_1=s_1r_2$. V terminologii polopřímého součinu to znamená, že $ f$ přiřadí každému $ s_1$ identitu (přesněji identický automorfismus), čili $ \alpha_{s_1}^f(r_2)=r_2$. Tento případ se nazývá přímý součin a značí se $ {\mbox{{\bb D}}}_2=\mbox{{\bb Z}}_2\times \mbox{{\bb Z}}_2$.

Když složíme dvě rotace okolo dvou trojčetných os, vznikne rotace okolo osy dvoučetné:

$\displaystyle [1,2,3,4]\ \to\ [3,1,2,4]\ \to\ [3,4,1,2],$    nebo $\displaystyle t_1t_2=d_1$

Z toho již plyne, že v  $ {\mbox{{\bb A}}}_4$ další podgrupy nenalezneme. Představme si, jak bychom takovou podgrupu budovali: k identitě bychom přidali nějakou z uvedených rotací. U $ t_1$ bychom kvůli úplnosti museli přidat i $ t_1^{-1}$. Pokud bychom přidali ještě například $ t_2$, museli bychom zahrnout i $ d_1,d_2,d_3$, a tudíž posléze i $ t_3,t_4$. Pokud bychom přidali $ d_1$, získali bychom $ t_2^{-1}$ ( $ t_1t_2=d_1\,\Rightarrow \,
d_1t_1t_2=1\, \Rightarrow \, d_1t_1=t_2^{-1}$). Podobně můžeme rozebrat i případ, kdy bychom začali s $ d_1$ a přidali $ t_1$. Můžeme takto rovněž ukázat, že $ {\mbox{{\bb B}}}_4$ je invariantní podgrupa $ {\mbox{{\bb A}}}_4$, a z toho plyne $ {\mbox{{\bb A}}}_4={\mbox{{\bb B}}}_4\rtimes^f \mbox{{\bb Z}}_3$.

Cyklické podgrupy v  $ {\mbox{{\bb S}}}_4$, které se ,,protínají''. (3.2cm,2cm)[r]\includegraphics[angle=0, scale=0.8]{OBRAZKY/tetr1.eps} =0.8mm(-18,14.5)1(-17,1)3(-4.5,1)4(-4,13.5)2 (-24,10)$ t_1$(1,5)$ s$ Podgrupy neobsahující zrcadlení jsou tedy $ {\mbox{{\bb A}}}_4$, $ {\mbox{{\bb D}}}_2$ a cyklické grupy: tři {\bb Z}$ _2$, a čtyři {\bb Z}$ _3$. Dodejme, že cyklické grupy {\bb Z}$ _p$ nelze rozložit v součin, pokud je $ p$ prvočíslo či mocnina prvočísla (první případ je jasný; ve druhém si uvědomte, že {\bb Z}$ _2\times$   {\bb Z}$ _2={\mbox{{\bb D}}}_2\not=\mbox{{\bb Z}}_4$). V  $ {\mbox{{\bb S}}}_4$ je obsaženo několik (dvojic) cyklických podgrup, jejichž cykly se ,,protínají'', ale neleží na sobě. Prvky takových cyklů s největší pravděpodobností nebudou komutovat (vskutku, například $ st_1\not=
t_1s$ -- viz obrázek 2). Pro lepší ilustraci si představte Rubikovu kostku, kde $ d_1$ znamená otočení vodorovného prostředního pásu o $ 90^\circ $ a $ t_1$ otočení svislého prostředního pásu o $ 90^\circ $ ($ t_1$, $ d_1$ by nyní generovaly dvě čtyřprvkové podgrupy). Kde se ocitne políčko z průsečíku obou pásů při $ t_1d_1$ a kde při $ d_1t_1$?

Symetrie
tetraedru tvoří pod-
grupu symetrií krychle. (3.5cm,3.0cm) \includegraphics[angle=0, scale=0.38]{OBRAZKY/tetr2.eps} Zcela na závěr poznamenejme, že grupa symetrií čtyřstěnu je podgrupou symetrií krychle {\bb L}$ _6$. Zvolíme-li totiž v krychli stěnové úhlopříčky v protilehlých stěnách (a to ty dvě, které nejsou rovnoběžné), vidíme v nich dvě protilehlé hrany čtyřstěnu.

Každé shodné zobrazení, které zachovává tento čtyřstěn zachovává samozřejmě i ,,opsanou'' krychli. Naopak to ovšem neplatí, rotace o $ 90^\circ $ čtyřstěn zřejmě nezachovávají. Lze ukázat, že {\bb L}$ _6=${\bb S}$ _4\rtimes^f$   {\bb S}$ _2$.

$ \ast$KV$ \ast$