Vandermondův determinant

Úkol: Spočtěte Vandermondův determinant

\begin{displaymath}
\left\vert
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\...
... x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n \\
\end{array}
\right\vert
\end{displaymath}

Výstraha: $ x^i$ zde značí exponent, nikoliv horní index.


Řešení: Tento determinant jsme již velmi rychle spočítali ve 4. příkladu v úvodu této kapitoly. Nyní jej spočítáme znovu ,,standardní'' metodou.

K výpočtu je bezpodmínečně nutná znalost vzorce pro rozdíl $ n$-tých mocnin.

$\displaystyle a^n-b^n=\left( a - b\right)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} +b^{n-1} \right)
$

Komentáře k pouzitým úpravám:
  1. první sloupec odečteme od všech ostatních
  2. vyškrtneme první sloupec a řádek (rozvoj determinantu)
  3. pouzijeme vzorec pro rozdíl $ n$-tých mocnin
  4. z prvního sloupce vytkneme $ x_1-x_0$, z druhého $ x_2-x_0$, atd., az z posledního $ x_n-x_0$
  5. od druhého řádku odečteme $ x_0$-násobek prvního řádku, od třetího řádku odečteme $ x_0^2$-násobek prvního řádku, atd.
  6. od třetího řádku odečteme $ x_0$-násobek druhého řádku, od čtvrtého řádku odečteme $ x_0^2$-násobek druhého řádku, atd.
  7. postupně výše uvedeným způsobem ,,vyčistíme'' celý determinant
  8. dostali jsme opět Vandermondův determinant, ale o stupeň menší, celý postup znouvu zopakujeme

\begin{displaymath}
\left\vert
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_...
...^n -x_0^n\\
\end{array}
\right\vert
\stackrel{(2),(3)}{=}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\left\vert
\begin{array}{ccccccccccccc}
x_1 -x_0& \cdots...
...-x_0)(x_n^{n-1} +\cdots +x_0^{n-1}) \cr\end{array}\right\vert
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\stackrel{(4)}{=}
\prod_{i=1} ^{n}(x_i-x_0)
\left\vert
\...
...s +x_0^{n-1} \\
\end{array}
\right\vert
\stackrel{(5)}{=}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\prod _{i=1} ^{n}(x_i-x_0)
\left\vert
\begin{array}{ccc}
...
...x_nx_0^{n-2} \\
\end{array}
\right\vert
\stackrel{(6)}{=}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\prod _{i=1} ^{n}(x_i-x_0)
\left\vert
\begin{array}{ccc}
...
...n^2x_0^{n-3} \\
\end{array}
\right\vert
\stackrel{(7)}{=}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\stackrel{(7)}{=}
\prod _{i=1} ^{n}(x_i-x_0)
\left\vert
...
...s &x_n^{n-1} \\
\end{array}
\right\vert
\stackrel{(8)}{=}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\prod _{i=1} ^{n}(x_i-x_0)
\prod _{i=2} ^{n}(x_i-x_1)
\le...
...iptscriptstyle{i,j=0}}{\scriptscriptstyle{i>j}}} ^n (x_i-x_j)
\end{displaymath}

$ \ast$VP$ \ast$