Výpočet cirkulantu vyuzitím znalosti spektra

Úkol: Vypočtěte determinant cyklické matice (cirkulantu)

\begin{displaymath}
\mathop{\rm det}\nolimits {C} =\mathop{\rm det}\nolimits
...
..._1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_n & c_0 \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}


Řešení: Budeme se zajímat o determinant součinu matice $ C$Vandermondovou maticí $ V$ (viz příklad 8.3). Prvky $ x_m$ ( $ m=0, \ldots, n$) v matici $ V$ zvolíme tak, ze $ m$-tý prvek bude $ m$-tým řešením rovnice $ x^{n+1}=1$. Bude tedy $ x_m=\varepsilon _m=\exp{\frac{2 \pi i}{n+1}m}$, kde $ i$ je imaginární jednotka a $ m=0, \ldots, n$.

\begin{displaymath}
V=\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 &1 ...
...epsilon _{n-1} ^n &\varepsilon _n^n \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

Základním pozorováním, které povede k vyřešení úlohy je překvapivá rovnost

$\displaystyle \varepsilon _m^{n}\varepsilon _m=\varepsilon _m^{n+1}=1\,,$ (51)

coz platí pro kazdé $ m$. Dále budeme chtít použít

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits CV=\mathop{\rm det}\nolimits C \mathop{\rm det}\nolimits V\,.
$

Součin matic na levé straně můžeme vypočítat přímo (vypisujeme pouze první sloupec)

\begin{displaymath}
\left\vert
\begin{array}{ccccccccccccc}
c_0 + c_1\vareps...
...^{n-1} + c_0\varepsilon _0 ^n& \cdots\end{array}
\right\vert
\end{displaymath}

Uzijeme vztah 51, označíme $ f(x)=c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots +c_{n-1}x^{n-1} + c_nx^n$ a dostaneme

\begin{displaymath}
\mathop{\rm det}\nolimits CV =
\left\vert
\begin{array}{c...
...repsilon _n)\varepsilon _n^2 \\
\end{array}
\right\vert\,.
\end{displaymath}

To není nic jiného nez $ \mathop{\rm det}\nolimits V\prod _{m=0}^n f(\varepsilon _m)$, z každého sloupce vytýkáme $ f(\varepsilon _l)$. Právě získaný výsledek má být ovšem také roven $ \mathop{\rm det}\nolimits C \mathop{\rm det}\nolimits V$, takže

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits C \mathop{\rm det}\nolimits V = \prod _{m=0}^n f(\varepsilon _m) \mathop{\rm det}\nolimits V
$

Determinant Vandermondovy matice, která má různé prvky, je nenulový, a proto jím můze celou rovnost zkrátit

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits C=\prod _{,=0}^n f(\varepsilon _m)\,,\qquad f(x)=\sum_{k=0}^n c_kx^k\,,\
\varepsilon _m=\exp{\frac{2\pi im}{n+1}}\,.
$

$ \ast$VP$ \ast$