Zobecněná Hilbertova matice

Úkol: Spočtěte determinant a inverzní matici k

$\displaystyle B_{kl}=\frac{1}{c_k+d_l}\,,\qquad k,l=1,\ldots,n\,.
$

Volba $ c_n=n$, $ d_n=n-1$ vede k Hilbertově matici.


Řešení: Nejprve budeme hledat inverzní matici. Vypočítáme minor $ B^{ij}$. Vynulujme $ j$-tý sloupec všech řádků matice $ B$ tím, že odečteme příslušný násobek $ i$-tého řádku, který jediný zůstává nezměněn. Tuto operaci můžeme napsat pro element $ B_{kl},\,k\neq i$ jako

$\displaystyle \frac{1}{c_k+d_l}\rightarrow\frac{1}{c_k+d_l}-\frac{c_i+d_j}{c_k+...
...rac{1}{c_k+d_l}\left(\frac{c_k-c_i}{c_k+d_j}
\frac{d_l-d_j}{c_i+d_l}\right).
$

Spočtěme determinant $ B_{kl}$ rozvinutím právě odvozené ekvivalentní matice podle $ j$-tého sloupce. Z linearity determinantu plyne, že z každého řádku můžeme vytknout $ \frac{c_k-c_i}{c_k+d_j}$ a z každého sloupce $ \frac{d_l-d_j}{d_l+c_i}$: zbude matice $ B^{ij}$, která je totožná s $ B$ s vyškrtnutým $ i$-tým řádkem a $ j$-tým sloupcem. Dostaneme tak

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits B=\frac{(-1)^{i+j}}{c_i+d_j}\left(\prod...
...prod_{l\not= j}\frac{d_l-d_j}{d_l+c_i}\right) \mathop{\rm det}\nolimits B^{ij}.$ (52)

$ B^{ij}$ vystupuje také v definici inverzní matice (viz také příklad 6.5)

$\displaystyle (B^{-1})_{ji}=(-1)^{i+j}\frac{\mathop{\rm det}\nolimits B^{ij}}{\mathop{\rm det}\nolimits B}\,.
$

Užitím (52) tedy dostaneme pro inverzní matici předpis

$\displaystyle (B^{-1})_{ji}=(c_i+d_j)\prod_{k\not= i}\frac{c_k+d_j}{c_k-c_i}
\prod_{l\not= j}\frac{d_l+c_i}{d_l-d_j}.
$

Všimněme si, že $ \mathop{\rm det}\nolimits B^{ii}$ je roven determinantu matice $ B$, z níž jsme vynechali $ i$-tý řádek a $ i$-tý sloupec. Vzorec (52) je pak rekurentním vztahem pro $ \mathop{\rm det}\nolimits B$. Jeho $ n$-násobnou aplikací dostaneme

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits B=
\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{c_i+d_i}\pr...
...c{{\ds\prod_{i<k }(c_i-c_k)(d_i-d_k)}}{{\displaystyle
\prod_{i,k}(c_i+d_k)}}
$

$ \ast$BK$ \ast$