Rezultant

Úkol: Rezultantem dvou polynomů $ f(x)=\sum_0^n a_i x^i$, $ g(x)=\sum_0^s b_j x^j$, jejichž kořeny označme $ \alpha_i$, resp. $ \beta_j$, se nazývá výraz

to $ \ds R(f,g)=
a_n^s b_s^n \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^s (\alpha_i-\beta_j)
=a_n^s \prod_{i=1}^n g(\alpha_i) =\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =(-1)^{ns}
b_s^n \prod_{j=1}^s f(\beta_j)=(-1)^{ns}R(g,f).$$\displaystyle \hss
$

Tedy rezultant je nulový, právě když mají polynomy $ f$ a $ g$ společný kořen. Dokažte, že rezultant lze vyjádřit ve formě determinantu matice řádu $ n+s$, která má tvar

$\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccccccc}
a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a...
...\circ & \cdots & \circ & b_s & b_{s-1} & \cdots & b_1 & b_0\end{array}\right), $

kde ,,$ a$-série'' řádků čítá $ s$ členů a ,,$ b$-série'' $ n$ členů. Při důkazu vám možná pomůže součin matic $ DM$, kde $ M$ je Vandermondova matice ze všech kořenů obou polynomů

$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ccccccc}
\beta_1^{n+s-1} &\beta_2^{n+s-1} ...
...1 &\cdots &\alpha_n \\
1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right)$


Řešení: Determinant matice $ M$ je, jak známo (viz příklad 8.3), roven

to $ \ds \mathop{\rm det}\nolimits M = \prod_{i<j}^s (\beta_i-\beta_j) \prod_{j=1}^s \prod_{i=1}^n
(\beta_j - \alpha_i) \prod_{i<j}^n (\alpha_i - \alpha_j) =\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =a_n^{-s}
b_s^{-n} R(g,f) V(f) V(g)\,.$$\displaystyle \hss
$

Zde jsme označili $ V(f)$ a $ V(g)$ Vandermondovy determinanty složené z kořenů pouze polynomu $ f$ resp. $ g$. Chceme využít toho, že determinant součinu je součinem determinantů, potřebujeme tedy vědět, že $ DM$ je

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}
\beta_1^{s-1} f(\beta_1) & \cdots &
...
...c & \cdots & \circ & g(\alpha_1) & \cdots & g(\alpha_n) \\
\end{array}\right)$

Determinant blokově diagonální matice je roven součinu determinantů bloků a navíc lze z každého sloupce vytknout $ f(\beta_i)$ či $ f(\alpha_i)$, takže

   to $ \ds \mathop{\rm det}\nolimits (DM) = \left[\prod_{j=1}^s f(\beta_j)\right] V(g)
\left[\prod_{i=1}^n g(\alpha_i)\right]
V(f) =\hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds = b_s^{-n} R(g,f) V(g) a_n^{-s} R(f,g) V(f)\,.$$\displaystyle \hss
$

Když toto srovnáme s vyjádřením determinantu $ M$, vidíme, že opravdu $ \mathop{\rm det}\nolimits D = R(f,g)$.

Poznamenejme, že rezultantu je možné užít k detekci vícenásobných kořenů, a to v podobě $ R(f,f')$.

$ \ast$$ \ast$