Poloha bodu vůči nadrovině

Úkol: Nechť $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^n,\vec{y}\in$   {\bb R}$ ^n$, $ \vec{x}^i=(x^i_1,\ldots, x^i_n)$ jsou (navzájem různé) body v obecné poloze. Určete, jak souvisí znaménko determinantu následující matice s polohou bodu $ \vec{y}$ vzhledem k nadrovině určené body $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^n$ (obrázek 14)

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} x^1_1 & \ldots & x^1_n & 1 \\ \vdots
...
...s \\ x^n_1 & \ldots & x^n_n & 1 \\ y_1
& \ldots & y_n & 1 \end{array} \right) $

Nadrovina v  {\bb R}$ ^3$ (tedy rovina) definovaná body $ \vec{x}^1$, $ \vec{x}^2$, $ \vec{x}^3$. Algebraicky je tato množina popsána lineárními kombinacemi 53. [r]=1mm \includegraphics[scale=0.8]{OBRAZKY/nadrovina.eps} (-36.5,0)0 (-26,26)$ \vec{x}_1$ (-21,15)$ \vec{x}_2$ (-35,15)$ \vec{x}_3$ (-45,21) $ \vec{x}_1-\vec{x}_3$ (-18,20) $ \vec{x}_1-\vec{x}_2$


Řešení: Nejprve si povšimněme, že determinant ze zadání příkladu je právě tehdy nulový, když daný bod $ \vec{y}$ leží v nadrovině definované body $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^n$ (označme ji $ \mu$).

Tento determinant vymizí totiž právě tehdy, pokud jsou řádky matice lineárně závislé, což je právě tehdy, když lze poslední řádek vyjádřit jako lineární kombinaci řádků ostatních (prvních $ n$ řádků je lineárně nezávislých, neboť body $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^n$ jsou dle zadání příkladu v obecné poloze). Determinant je nulový tedy právě tehdy, pokud existují koeficienty $ a_i$ ( $ 1\le i\le n$) takové, že platí $ \vec{y}=\sum\nolimits_{i=1}^{n}a_i \vec{x}^i$ a zároveň $ 1=\sum\nolimits_{i=1}^{n}a_i$, což je právě tehdy, když $ \vec{y}$ je afinní kombinací bodů $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^n$, neboli právě tehdy, když $ \vec{y}$ leží v nadrovině $ \mu$. Toto tvrzení se opírá o skutečnost, že libovolný bod nadroviny lze zapsat jako

$\displaystyle \vec{x}^1+\sum_{i=2}^n b_i(\vec{x}^i-\vec{x}^1)\,,\quad b_2,\ldots,b_n\in${\bb R}$\displaystyle \,.
$ (53)

V této lineární kombinaci je součet všech koeficientů právě $ 1+\sum_i
b_i-\sum_i b_i=1$. Množina definovaná vztahem 53 se nazývá afinní prostor (dimenze $ n-1$). Pokud tato množina neobsahuje nulový vektor, není to vektorový prostor (to je například když $ \vec{x}^1\not 0$ a $ \vec{x}^1\notin${\Cal L}$ (\{\vec{x}^2,\ldots, \vec{x}^n\})$).

Nyní si rozmyslíme, že pro všechny body ve stejném otevřeném poloprostoru určeném nadrovinou $ \mu$ je determinant ze zadání příkladu nenulový a má stejné znaménko. Zvolme libovolný bod $ \vec{y}^0$ neležící v $ \mu$ a nechť $ \vec{v}$ je libovolný vektor z  {\bb R}$ ^n$. Nechť je funkce $ f(\lambda)$ definována následovně:

$\displaystyle f(\lambda)=\mathop{\rm det}\nolimits \left(\begin{array}{cccc}
x...
...1 \\
y^0_1+\lambda v_1 & \ldots & y^0_n+\lambda v_n & 1
\end{array} \right) $

Zřejmě $ f(0)$ je hodnota diskutovaného determinantu v bodě $ \vec{y}^0$; rozvojem determinantu dle posledního řádku snadno nahlédneme, že funkce $ f$ je lineární funkcí v proměnné $ \lambda$. Nechť je nyní $ \vec{y}$ libovolný bod v  {\bb R}$ ^n$ neležící v $ \mu$ a nechť $ \vec{v}=\vec{y}-\vec{y}^0$. Pokud $ \vec{y}$ a $ \vec{y}_0$ leží ve stejném otevřeném poloprostoru určeném nadrovinou $ \mu$, potom $ f(0)$ a $ f(1)$ mají stejné znaménko, jinak by totiž funkce $ f$ musela být nulová pro nějaké $ \lambda\in(0,1)$, potom by ale bod $ \vec{y}^0+\lambda \vec{v}$ byl bodem nadroviny $ \mu$, a tedy by body $ \vec{y}^0$ a $ \vec{y}=\vec{y}^0+\vec{v}$ by ležely v různých otevřených poloprostorech určených nadrovinou $ \mu$. Pokud naopak body $ \vec{y}$ a $ \vec{y}^0$ leží v různých otevřených poloprostorech určených nadrovinou $ \mu$, potom existuje $ \lambda\in(0,1)$ takové, že bod $ \vec{y}^0+\lambda \vec{v}$ leží v nadrovině $ \mu$, a tedy $ f(\lambda)=0$. Potom ale z linearity funkce $ f$ plyne, že hodnoty $ f(0)$ a $ f(1)$ mají různé znaménko.

Naše úvahy lze tedy shrnout následovně: Determinant ze zadání příkladu je nulový právě tehdy, když $ \vec{y}$ leží v nadrovině určené body $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^n$. Navíc pro všechny body ležící ve stejném otevřeném poloprostoru určeném touto nadrovinou má stejné znaménko.

$ \ast$DK$ \ast$