Cauchy-Binetova věta

Úkol: Nechť $ A$ a $ B$ jsou matice typu $ n\times m$ pro $ m\ge n$ a $ A_I$, resp. $ B_I$, pro $ I\subseteq\{1,\ldots,m\}$ je matice vzniklá z $ A$, resp. $ B$, pokud v ní ponecháme pouze sloupce s indexy z množiny $ I$. Dokažte, že potom platí

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (AB^T)=\sum_{I\subseteq\{1,\ldots,m\}\atop \vert I\vert=n} \mathop{\rm det}\nolimits (A_I B_I^T)\,.$ (54)


Řešení: Rozepsáním definice determinantu a součinu matic okamžitě zjistíme, že levá strana dokazované rovnosti je rovna:

   to $ \ds \mathop{\rm det}\nolimits (AB^T)=
\sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n} (AB^T)_{i,\pi(i)}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =
\sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n}\sum_{k_i=1...
...pi\hskip-3pt\sum_{k_1,\ldots,k_n=1}^{m}\prod_{i=1}^{n}
A_{i,k_i}B_{\pi(i),k_i}$$\displaystyle \hss
$

Zjednodušme si zápis tím, že v prostřední sumě budeme sčítat přes všechny funkce $ f:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,m\}$ (rozmyslete si tento krok)

to $ \ds
\mathop{\rm det}\nolimits (AB^T)=\sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\sum_{f}\prod_{i=1}^{n}A_{i,f(i)}B_{\pi(i),f(i)}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\sum_{f}\sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n}A_{i,f(i)}B_{\pi(i),f(i)}\,.$$\displaystyle \hss
$

Ukážeme, že pokud funkce $ f$ není prostá, pak je příslušný sčítanec ve výše uvedené sumě nulový. Nechť tedy $ f(i_1)=f(i_2)$ pro $ i_1\not=
i_2$ a nechť permutace $ \pi'$ je $ \pi$ pozměněná pouze pro $ i_1$ a $ i_2$ tak, že $ \pi'(i_1)\df=\pi(i_2)$ a $ \pi'(i_2)\df=\pi(i_1)$. Protože sčítáme přes všechny permutace, můžeme každou permutaci $ \pi$ nahradit jí odpovídající $ \pi'$, na všechny se dostane25.

   to $ \ds
\sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)}B_{\pi(...
...\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi'\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)}B_{\pi'(i),f(i)}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds
=\sum_{\pi}-\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)...
...sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)}B_{\pi(i),f(i)}$$\displaystyle \hss
$

V posledním kroku jsme použili zaměnitelnost $ \{[\pi(i_1),f(i_1)],\allowbreak [\pi(i_2),\allowbreak f(i_2)]\}=
\{[\pi'(i_2),f(i_2)],[\pi'(i_1),f(i_1)]\}$, která se opírá o  $ f(i_1)=f(i_2)$. Porovnáním levé a pravé strany ihned zjistíme, že musí platit

$\displaystyle \sum_{\pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)}B_{\pi(i),f(i)}=0\,, $

samozřejmě pouze pokud $ f$ není prostá.

Můžeme tedy předpokládat, že všechny funkce $ f:\{1,\ldots,n\}\to\allowbreak \{1,\ldots,m\}$, přes které se sčítá, jsou prosté, a tedy rozepsat pravou stranu následovně:

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (AB^T)=
\sum_{I\subseteq\{1,\ldots,m\}...
...pi}\mathop{\rm sgn}\nolimits \pi
\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)}B_{\pi(i),f(i)}\,. $

Nyní již zbývá jen zaměnit sumy a znovu si připomenout definici součinu matic

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (AB^T)=
\sum_{I\subseteq\{1,\ldots,m\}...
...ty f\atop\ssty f(\{1,\ldots,n\})=I}
\prod_{i=1}^{n} A_{i,f(i)}B_{\pi(i),f(i)}=$

$\displaystyle =\sum_{I\subseteq\{1,\ldots,m\},\atop \vert I\vert=n}\sum_{\pi}\m...
...\ldots,m\},\atop \vert I\vert=n}\sum_I\mathop{\rm det}\nolimits (A_I B_I^T)\,. $

Vztah 54, který jsme právě dokázali, má pěknou geometrickou interpretaci. Pokud položíme $ B=A$ a řádky matice $ A$ chápeme jako $ n$ vektorů z  {\bb R}$ ^m$, $ m\ge n$, pak $ \mathop{\rm det}\nolimits (AA^T)$ je kvadrát $ n$-rozměrného objemu rovnoběžnostěnu $ P$ definovaného těmito vektory. Toto tvrzení je triviální pro $ n=m$ (pak je $ \mathop{\rm det}\nolimits (AA^T)=(\mathop{\rm det}\nolimits A)^2$), pro $ n<m$ na něj lze narazit při integraci přes $ n$-dimenzionální plochu v  {\bb R}$ ^m$ ($ AA^T$ je Grammova matice).

Determinanty na pravé straně (54) souvisí podobně s ortogonálními průměty $ P$ do $ V_I=${\Cal L}$ (\{\vec{e}_i\,,\ i\in I\})$, kde $ \vec{e}_i$ je vektor ze samých nul a s jedničkou na $ i$-tém místě (to jsou pak $ m$-rozměrné rovnoběžnostěny v $ m$-rozměrném prostoru). Takové promítání se dělá jednoduše tak, že z promítaného vektoru vynecháme všechny souřadnice, jejichž index není v $ I$.

Například pro $ m=3$ a $ n=2$ říká (54), že kvadrát plochy kosočtverce $ K$ definovaného vektory $ \vec{v}_1,\vec{v}_2\in${\bb R}$ ^3$ je roven součtu kvadrátů ploch kosočtverců, které vzniknou průmětem $ K$ do rovin $ x_1x_2$ ($ V_{12}$ v terminologii předchozího odstavce), $ x_2x_3$ ($ V_{23}$) a $ x_1x_3$ ($ V_{13}$).

Rovnici (54) můžeme také chápat jako jisté zobecnění Pythagorovy věty, neboť pro $ m=2$ a $ n=1$ dává tato rovnice známé tvrzení $ \vert\vec{v}\vert^2=v_1^2+v_2^2$.

$ \ast$DK$ \ast$