Gershgorinova věta

Úkol: Nechť $ A$ je matice typu $ n\times n$. Nechť $ K_i$ je kruh v komplexní rovině se středem v bodě $ A_{ii}$ a poloměru $ r_i=\sum\nolimits_{j\not=i}\vert A_{ij}\vert$. Nechť $ K=\bigcup\nolimits_{i} K_i$. Dokažte, že všechna vlastní čísla matice $ A$ leží v množině $ K$ (Gershgorinova věta). Množina $ K$ se nazývá Gershgorinova množina a $ K_i$ se nazývají Gershgorinovy kruhy.

Pomocí této věty dokažte následující dvě tvrzení

  1. Nechť $ A$ je ostře diagonálně dominantní matice, tedy

    $\displaystyle \forall i:\ \vert A_{ii}\vert>\sum_{j\not=i}\vert A_{ij}\vert\,.$ (58)

    Potom je $ A$ regulární.

  2. Hermitovská ($ A^\dag=A$) diagonálně dominantní (neostrá nerovnost v definici 58) matice s kladnými prvky na diagonále je pozitivně semidefinitní. Pokud je matice dokonce ostře diagonálně dominantní, potom je pozitivně definitní.


Řešení: Nechť $ \vec{v}$ je libovolný vlastní vektor matice $ A$ příslušný k vlastnímu číslu $ \lambda$. Nechť je jeho $ k$-tá složka největší (v absolutní hodnotě). Z definice násobení matic ihned plyne: $ \lambda r_k=\sum_{i} A_{ki}r_i$. Tedy platí:

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
(\lambda-A_{kk}) v_k&=&\sum\limits_{i\no...
...rt&\le&\sum\limits_{i\not=k} \vert A_{ki}\vert
\end{array}
\end{displaymath}

Tedy $ \lambda\in K_k$ a tedy všechna vlastní čísla matice $ A$ leží v Gershgorinově množině.

  1. Pokud je matice $ A$ ostře diagonálně dominantní, potom žádný její Gershgorinův kruh neobsahuje nulu. Vlastní čísla jsou tedy nenulová a matice $ A$ je regulární.

  2. Hermitovské matice mají pouze reálná vlastní čísla. Pokud je taková matice diagonálně dominantní (resp. ostře diagonálně dominantní) a na diagonále má kladná čísla, potom její Gershgorinova množina obsahuje pouze nezáporná (resp. kladná) reálná čísla. Taková matice je tedy pozitivně semidefinitní (resp. definitní).

$ \ast$DK$ \ast$