Vlastní čísla jedné obyčejné matice

Úkol: $ J$ je matice typu $ n\times n$ se samými jedničkami ($ J_{ij}=1$). Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice $ x\mathbbm{1}+yJ$, kde $ x,y\in$   {\bb R}. Určete determinant této matice.


Řešení: Libovolný nenulový vektor je vlastním vektorem matice $ \mathbbm{1}$ a příslušným vlastním číslem je jednička. Matice $ \mathbbm{1}$ má tedy jediný vlastní podprostor a tím je celý prostor. Matice $ J$ má jednonásobné vlastní číslo $ n$ (příslušné vlastní vektory jsou tvaru $ (\alpha,\ldots,\alpha)$, $ \alpha\not=0$) a $ (n-1)$-násobné vlastní číslo 0 (příslušné vlastní vektory jsou všechny vektory, jejichž složky se sčítají na nulu). Protože, vlastní podprostory matice $ J$ jsou podprostory (jediného) vlastního podprostoru matice $ \mathbbm{1}$, můžeme shrnout:

Determinant matice je součin vlastních čísel, tedy $ x^{n-1}(x+ny)$. Srovnejte s příkladem 2 v úvodu kapitoly 8. Všimněte si také, že součet vlastních čísel je $ n(x+y)$, tedy roven stopě matice, jak má být.

$ \ast$DK$ \ast$