Jednoduché grupy

Úkol: Dokažte, že následující množiny jsou grupy a nalezněte počet jejich prvků, který též nazýváme řádem grupy. Určete, které páry grup v seznamu jsou vzájemně izomorfní a které grupy jsou komutativní.

Obrázek: Pravidelná tělesa. Zleva: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn.
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccc}
\mbox{\includegraphics[scale=0.21]{OBR...
...udegraphics[scale=0.21]{OBRAZKY/PLATON/icosa1.eps}}
\end{array}\end{displaymath}


Řešení: Všechny uvedené množiny mají neutrální prvek, v  aditivní grupě {\bb Z}$ _n$ je jím prvek 0, u grup permutací je jím identická permutace $ 1$, u geometrických grup geometrická identita $ 1$, ponechávající geometrický objekt na místě. Všechny uvedené množiny mají inverzní prvek ke každému svému prvku a jsou uzavřeny vzhledem ke grupové operaci: součet $ a+b$ modulo $ n$ v grupě {\bb Z}$ _n$ opět náleží množině {\bb Z}$ _n$, permutace složená s jinou permutací dá zase permutaci, stejně tak každá množina geometrických operací definovaná tím, že ,,něco'' zachovává, je uzavřena na násobení, jelikož pokud $ b$ i $ a$ ,,něco'' zachovává, potom to zachovává i $ ab$. Jakákoliv kompozice je asociativní, součin $ (ab)c=a(bc)$ odpovídá jednoduše postupnému provedení operací $ c,b,a$.

Jaké jsou řády grup? {\bb Z}$ _n$ má zjevně $ n$ prvků, {\bb S}$ _n$$ n!$ prvků. Grupa {\bb A}$ _n$ pro $ n>1$$ n!/2$ prvků; sudých a lichých permutací musí totiž být stejně, protože je lze jednoznačně přiřadit násobením nějakou transpozicí (která existuje pro $ n>1$).

Stejně tak grupa {\bb D}$ _n$ symetrií $ n$-úhelníka obsahuje $ 2n$ prvků: $ n$ různých rotací plus zrcadlení (osová souměrnost) vůči $ n$ různým osám. Tato zrcadlení lze také chápat jako kompozici jednoho zvoleného zrcadlení a jednoho z $ n$ možných otočení. Všimněte si, že také grupa {\bb D}$ _2$ symetrií obdélníka má $ 2n=4$ prvky.

Dále budeme mluvit o symetriích, nebo také o  izometriích, pokud budeme chtít zdůraznit, že operace zachovává vzdálenosti.

Nejsložitější jsou grupy {\bb L}$ _i$. Uvažujme nejprve dvanáctistěn, který má 12 pětiúhelníkových stěn. Izometrie musí zobrazit zvolenou stěnu na jednu z 12 stěn a může tento pětiúhelník otočit či zrcadlit celkem $ 2\cdot 5=10$ způsoby (jako řád {\bb D}$ _5$), {\bb L}$ _{12}$ má tedy 120 prvků. Kupodivu i {\bb L}$ _{20}$ má obdobně $ 20\cdot 2\cdot 3=120$ prvků. Stejnou taktikou zjistíme, že {\bb L}$ _8$ $ 8\cdot 2\cdot
3=48$ prvků a {\bb L}$ _6$ má také $ 6\cdot 2\cdot 4=48$ prvků. Nakonec {\bb L}$ _4$ $ 4\cdot 2\cdot 3=24=4!$ prvků.

Lze se ptát: je náhoda, že {\bb L}$ _{12}$ i {\bb L}$ _{20}$ mají 120 prvků? Není to náhoda, tyto grupy jsou ve skutečnosti izomorfní, jelikož každý vrchol dvanáctistěnu lze ztotožnit se stěnou dvacetistěnu (a naopak). Totéž platí pro krychli a osmistěn. Zmíněné dvojice těles jsou duální, jak se lze dočíst v [PLA] v kapitole Dualita (15.2). Úplný seznam izomorfních grup v našem případě je

   {\bb A}$\displaystyle _3=${\bb Z}$\displaystyle _3,$   {\bb L}$\displaystyle _{20}=${\bb L}$\displaystyle _{12},$   {\bb L}$\displaystyle _{8}=${\bb L}$\displaystyle _{6},$   {\bb D}$\displaystyle _3=${\bb S}$\displaystyle _3,$   {\bb L}$\displaystyle _4=${\bb S}$\displaystyle _4.$

První rovnost ukazuje, že sudá permutace 3 prvků je identita nebo cyklus, poslední dvě platí proto, že libovolná permutace 3 resp. 4 vrcholů rovnostranného trojúhelníka resp. čtyřstěnu je izometrií (všimněte si, že obě grupy mají $ 6$ resp. $ 24$ prvků). Také lze najít rovnost {\bb D}$ _2=${\bb Z}$ _2\times${\bb Z}$ _2$ (srov. s příkladem 2.1), jelikož symetrie obdélníka lze vnímat jako dvě nezávislé a komutující grupy {\bb Z}$ _2$, které ho převracejí podle svislé nebo vodorovné osy. Co se týče komutativity, z daného výčtu grup jsou komutativní

{\bb Z}$\displaystyle _n,$   {\bb S}$\displaystyle _1=${\bb Z}$\displaystyle _1=${\bb A}$\displaystyle _1=${\bb A}$\displaystyle _2,$   {\bb S}$\displaystyle _2=${\bb Z}$\displaystyle _2,$   {\bb D}$\displaystyle _2=${\bb Z}$\displaystyle _2\times${\bb Z}$\displaystyle _2,$   {\bb A}$\displaystyle _3=${\bb Z}$\displaystyle _3$

jak lehce ověříte, ostatní grupy {\bb S}$ _n,${\bb A}$ _n,${\bb D}$ _n$ pro $ n>2$ a {\bb L}$ _i$ jsou nekomutativní.

$ \ast$LM$ \ast$