Vlastní čísla pro začátečníky

Úkol: Je dána matice $ A$:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 5&-3&2\cr 6&-4&4\cr 4&-4&5\end{array}\right) $

a)
Určete spektrum $ A$ (nalezněte vlastní čísla $ A$).
b)
Nalezněte vlastní vektory $ A$.
c)
Určete Jordanův kanonický tvar $ J_A$ matice $ A$ a matici $ Q$ tak, aby platilo $ A=QJ_AQ^{-1}$.


Řešení:


a) Spektrum matice $ A$, značeno $ \sigma(A)$, je množina kořenů charakteristického polynomu $ \chi(\lambda)\equiv \mathop{\rm det}\nolimits (A-\lambda
\mathbbm{1})$. Tento polynom lze spočítat buď přímo, nebo pomocí lemmatu (srovnejte s příkladem 9.10)

$\displaystyle \chi(\lambda)=-\lambda^3+\mathop{\rm Tr}\nolimits A \cdot\lambda^2-(A_1+A_2+A_3)
\cdot\lambda+\mathop{\rm det}\nolimits A\,, $

$ A_i$ je determinant matice vzniklé z $ A$ vypuštěním $ i$-tého řádku a $ i$-tého sloupce. Takto dostáváme

$\displaystyle \chi(\lambda)=-\lambda^3+6\lambda^2-11\lambda+6=
-(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)\,,$

tedy $ \sigma (A)=\{1,2,3\}$. Při hledání kořenů $ \chi(\lambda)$ jsme nejprve zkusmo nalezli $ \lambda=1$ a pak jsme vydělili $ \chi(\lambda)/(\lambda-1)= -\lambda^2+5\lambda-6$.


b,c) Protože jsou všechna vlastní čísla jednonásobná, je matice $ A$ diagonalizovatelná. Matice $ Q$ pak bude mít jako sloupce vlastní vektory příslušné jednotlivým vlastním číslům.

Pokud je $ \vec{v}$ vlastním vektorem $ A$ příslušejícím vlastnímu číslu $ \lambda$, znamená to $ (A-\lambda \mathbbm{1})\vec{v}=0$. Pro naše tři vlastní čísla to představuje tři soustavy dvou rovnic pro tři neznámé (jednu složku vždy volíme, vlastní vektor lze vždy násobit libovolným číslem). Řešením postupně dostaneme vlastní vektory $ A$, například

$\displaystyle \lambda=1:\ \vec{v}_1 = \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 2...
...egin{array}{ccccccccccccc} \textstyle\frac{1}{2}\cr 1\cr 1\end{array}\right).
$

Nalezli jsme tedy

$\displaystyle J_A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr 0&2&0\cr 0&0&3\en...
...Q=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&1&1\cr 2&1&2\cr 1&0&2\end{array}\right).$

$ \ast$PK$ \ast$