Vlastní čísla matice $ 4\times 4$

Úkol: Je dána matice $ A$:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} -2&5&-10&15\cr 0&6&0&2\cr 0&2&8&-2\cr 0&2&0&6\end{array}\right) $

Určete charakteristický polynom $ \chi(\lambda)$ a spektrum (množinu vlastních čísel) $ \sigma(A)$ matice $ A$.
a)
Vyjděte přímo z definice $ \chi(\lambda)$.
b)
Využijte vzorce (pro matice $ 4\times 4$)

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} 
 \chi(\lambda)=\lambda^4-\lambd...
...cdot(A_1+A_2+A_3+A_4)+\mathop{\rm det}\nolimits A\,.\end{array}\end{displaymath} (59)

$ A_{i,j}$ je determinant matice typu $ 2\times 2$ vzniklé z $ A$ vypuštěním dvou sloupců a stejných dvou řádků ($ i$-tý a $ j$-tý sloupec, $ i$-tý a $ j$-tý řádek). $ A_k$ je determinant matice typu ($ 3\times 3$) vytvořené z $ A$ vypuštěním sloupce a stejného řádku ($ i$-tý sloupec a $ i$-tý řádek). Srovnejte s příkladem 9.10.
c)
Prohazováním řádků a sloupců v determinantu převeďte matici $ A-\lambda \mathbbm{1}$ na blokově horní trojúhelníkovou matici a použijte lemmatu

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (A-\lambda \mathbbm{1})=\mathop{\rm det...
...Z\end{array}\right)=\mathop{\rm det}\nolimits X\mathop{\rm det}\nolimits Z\,,
$

v němž $ X$, $ Z$ jsou obecně libovolné čtvercové matice, jejichž dimenze dávají dohromady dimenzi $ A$. V našem případě to budou matice $ 2\times 2$ a $ 2\times 2$.


Řešení:


a) $ \chi(\lambda)\equiv \mathop{\rm det}\nolimits (A-\lambda
\mathbbm{1})$, determinant snadno spočteme rozvojem podle prvního sloupce (pouze jeden nenulový člen) a pomocí Sarrusova pravidla:

   to $ \ds
\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc}
-2-\lambda&5&-10&15\cr0&6-\lamb...
...c} 6-\lambda&0&2\cr2&8-\lambda&-2\cr 2&0&6-\lambda\end{array}\right\vert=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =-(2+\lambda)
[(6-\lambda)\cdot(8-\lambda)\cdot(6-\lambda)-32+4\lambda]=
$

   to $ \hfill\ds =-(2+\lambda)[-\lambda^3+20\cdot\lambda^2-128\cdot\lambda+256]$$\displaystyle \hss
$

Při rozkladu polynomu v hranatých závorkách27 (ozn. $ Q(\lambda)$) můžeme využít věty o racionálních kořenech polynomu s celočíselnými koeficienty:


Nechť $ P(\lambda)=\sum_{i=0}^n
a_i\lambda^i$. Je-li $ \lambda=\frac{p}{q}$, $ p,q\in${\bb Z} kořenem $ P(x)$, pak $ p$ dělí $ a_0$ a $ q$ dělí $ a_n$.


V našem případě to znamená, že pokud existuje $ \lambda$ nějaký racionální kořen $ Q(\lambda)$, pak $ \lambda\in\{\pm2,\pm4,\ldots,\pm256\}$. Postupným dosazováním zjistíme, že $ \lambda=4$ je kořenem $ Q(\lambda)$. Pak $ Q(\lambda)/(\lambda-4)=-\lambda^2+16\lambda-64=-(\lambda-8)^2$, a tedy

$\displaystyle \chi(\lambda)=(\lambda-8)^2(\lambda-4)(\lambda+2)\,,$    odkud $\displaystyle \sigma(A)=\{-2,4,8\}$


b) Hodnoty $ A_{i,j}$ (hlavních minorů $ 2\times 2$) jsou $ A_{1,2}=48$, $ A_{1,3}=32$, $ A_{1,4}=48$, $ A_{2,3}=-12$, $ A_{2,4}=-16$, $ A_{3,4}=-12$. Hlavní minory $ 3\times 3$ jsou $ A_1=256$, $ A_2=-96$, $ A_3=-64$, $ A_4=-96$ a konečně $ \mathop{\rm det}\nolimits A=-512$. Dosadíme do vzorce 59 a dostaneme charakteristický polynom

$\displaystyle \chi(\lambda)=\lambda^4-18\lambda^3+88\lambda^2-512\,,
$

o němž díky větě z bodu b) víme, že jeho racionální kořeny leží v  $ \{\pm 2,\pm 4,\pm 8,\ldots,\pm 256\}$. S jistou dávkou vytrvalosti se dopracujeme i tentokrát k  $ \sigma(A)=\{-2,4,8\}$.


c) Pokud prohodíme druhý a třetí řádek a potom druhý a třetí sloupec v matici $ A-\lambda \mathbbm{1}$, dostaneme pro $ \chi(\lambda)$

$\displaystyle -\left\vert\begin{array}{ccccccccccccc}
-2-\lambda&5&-10&15\cr ...
...\lambda&2&-2\cr 0&0&6-\lambda&2\cr 0&0&2&6-\lambda\end{array}
\right\vert\,.
$

Nezapomněli jsme přitom měnit znaménko za každé prohození. Toto je blokově horní trojúhelníkový tvar, takže lze použít naše lemma:

$\displaystyle \chi(\lambda)\hskip-.8pt=\hskip-.8pt\left\vert\begin{array}{ccccc...
...{array}\right\vert=\hskip-.8pt(-2-\lambda)(8-\lambda)(\lambda^2-12\lambda+32)
$

Když rozložíme kvadratický trojčlen, dostaneme opět správný výsledek. Všimněte si, že jsme maximálně zužitkovali nuly v matici a celé počítání se ztenčilo na determinant $ 2\times 2$.

$ \ast$PK,KV$ \ast$