Sinus matice

Úkol: Spočítejte

$\displaystyle \sin \left(\begin{array}{cc} \frac{\pi}{2} & \frac{\pi}{4} \\
\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2}
\end{array}\right). $


Řešení: Tento příklad ilustruje, jak lze obecně počítat funkci z matice. Jiný možný postup je předveden v příkladu 9.8. Jediná známá operace s maticemi je násobení (a sčítání), proto se snažíme funkci rozvinout v mocninnou řadu, kde se vyskytuje právě jen sčítání a násobení matic. Aby se nám obecné mocniny dobře počítaly, matici diagonalizujeme.

Matici označíme $ \frac{\pi}{4}A$ a budeme ji pomocí podobnostní transformace diagonalizovat. Hledáme tedy matici $ C$ takovou, aby bylo $ C^{-1}AC=D$ a $ D$ byla diagonální matice. Víme totiž, že platí $ A^n=(CDC^{-1})^n=CD^nC^{-1}$, a tedy pokud sinus matice definujeme jako mocninnou řadu, bude platit i $ \sin A=\sin
(CDC^{-1})=C(\sin D) C^{-1}$, kde sinus diagonální matice znamená použít sinus na jednotlivé elementy na diagonále (představte si $ \sin D$ opět jako řadu; umocnit diagonální matici znamená umocnit prvky na diagonále).

Nejprve určíme vlastní čísla matice $ A$ pomocí rovnice $ \mathop{\rm det}\nolimits (A-\lambda
\mathbbm{1})=0$. Řešením kvadratické rovnice zjistíme $ \lambda_1=3$, $ \lambda_2=1$. Protože jsou tato čísla různá, víme, že je diagonalizace možná (není třeba hledat kapitolu o Jordanově tvaru matic). Čísla musela vyjít reálná, neboť matice $ A$ je symetrická a reálná.

Dále určíme transformační matici $ C$. Vztah $ A=CDC^{-1}$ říká, že matice $ C^{-1}$ musí převádět z kanonické báze -- $ \{(1,0),(0,1)\}$ -- do báze vlastních vektorů $ \vec{v}_1,\vec{v}_2$ matice $ A$. Násobení maticí $ D$ pak říká, že pokud maticí $ A$ násobíme vektor $ \vec{v}$, nestane se nic jiného, než že složka $ \vec{v}$ ve směru $ \vec{v}_1$ se násobí $ \lambda_1$ a složka ve směru $ \vec{v}_2$ se násobí $ \lambda_2$ (spektrální rozklad zobrazení). Jelikož máme ale nyní výsledek vyjádřen v bázi $ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$, je třeba se ještě vrátit do báze kanonické, což zařídíme násobením maticí $ C$.

Vlastní vektory matice $ A$ najdeme jako řešení rovnic $ (A-\lambda_i\mathbbm{1})\vec{v}_i=0$. Získáme $ \vec{v}_1=(1,1)$ a $ \vec{v}_2=(1,-1)$ a podle předchozího odstavce je třeba tyto vektory zapsat do sloupců matice $ C$ (srovnejte s příklady 6.2,4.9). Ježto byla matice $ A$ symetrická a reálná a její vlastní čísla různá, musely tyto vektory vyjít kolmé. Pokud vektory navíc normujeme na jedničku, dostaneme ortogonální matici $ M$ a inverzní matice se k ní hledá obzvlášť jednoduše28: $ M^{-1}=M^T$. Platí $ \vert\vec{v}_1\vert=\vert\vec{v}_2\vert=\sqrt{2}$, tedy matice $ M=(1/\sqrt{2})C$ je ortogonální a matice $ (1/\sqrt{2})C^T$ je k ní inverzní.

Pro obecnou matici $ 2\times 2$ lze ale inverzní matici najít snadno také podle Čihákova pravidla (příklad 6.5): zaměnit členy na diagonále, změnit znaménka u členů mimo diagonálu a celé dělit determinantem. Oběma postupy dojdeme k podobnostní transformaci:

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2 & 1 \cr 1 & 2\end{array}
\r...
...ccccccccccccc} \hfill 1 &\hfill 1 \cr \hfill 1 &\hfill -1\end{array}
\right). $

Sinus původní matice pak už není žádný problém

   to $ \ds
\sin \frac{\pi}{4}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2 & 1 \cr 1 & 2\end...
...cccccccc} \hfill 1 &\hfill 1 \cr \hfill 1 &\hfill -1\end{array}
\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds
=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \hfill 1 &\hfill 1 ...
...t{2}}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 0 \cr 0 & 1\end{array}
\right)\,. $$\displaystyle \hss
$

$ \ast$KV$ \ast$