Odmocnina z matice

Úkol: Je zadána matice

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
6 & 2\cr
3 & 7\cr
\end{array}\right)
$


Určete $ \sqrt{A}$ (tj. všechny takové matice $ \sqrt A$ pro které platí $ (\sqrt A)^{2}=A$).


Řešení: Matici $ A$ převedeme na diagonální tvar, který už lze jednoduše odmocnit (srovnejte s příkladem 9.6). Pokud totiž najdeme matice $ D$ (diagonální) a $ C$, které splňují $ A=CDC^{-1}$, pak platí $ \sqrt A=C\sqrt D C^{-1}$. Pro důkaz stačí pravou stranu rovnosti umocnit na druhou:

$\displaystyle (C\sqrt D C^{-1})^{2}=C\sqrt D C^{-1}C\sqrt D C^{-1}=C(\sqrt D)^{2}C^{-1}=CDC^{-1}=A\,$

což dokazuje výše uvedené tvrzení. Odmocninu z diagonální matice provedeme prostě tak, že odmocníme jednotlivé elementy (neboť $ D^2$ znamená umocnit diagonální elementy na druhou).

Nejdříve určíme vlastní čísla matice $ A$ jako kořeny charakteristického polynomu $ P(\lambda)=\mathop{\rm det}\nolimits (A-\lambda \mathbbm{1})$. V našem případě je to (srovnejte s příkladem 9.10)

$\displaystyle P(\lambda)=\lambda^2-\lambda\mathop{\rm Tr}\nolimits A+\mathop{\rm det}\nolimits A=\lambda^{2}-13\lambda+36$ (60)

a jeho kořeny jsou $ \lambda_{1}=4$, $ \lambda_{2}=9$. Matice $ D$ má tedy tvar

$\displaystyle D=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 4 & 0\cr
0 & 9\cr\end{array}\right)$

Nyní určíme vlastní vektory matice $ A$ z rovnice $ (A-\lambda \mathbbm{1})\vec{v}=0$. Pro $ \lambda_1=4$ dostaneme například $ \vec{v}_1= (1,-1)^T$, pro $ \lambda_2=9$ třeba $ \vec{v}_2=(2,3)^T$. Pomocí vlastních vektorů vytvoříme matici $ C$ a to tak, že do sloupců29 matice $ C$ zapisujeme vlastní vektory $ A$ ve stejném pořadí, v jakém jsme psali vlastní čísla $ A$ do diagonální matice $ D$. K matici $ C$ hned také spočítáme inverzní matici, budeme ji za chvilku potřebovat

$\displaystyle C=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 2\cr -1 & 3\cr\end{array...
...c{1}{5} \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 3 & -2\cr 1 & 1\cr\end{array}\right)$

Nyní tedy platí

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 6&2\cr 3&7\cr\end{array}\rig...
...1}{5} \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 3 & -2\cr 1 & 1\cr\end{array}\right)
$

a stačí odmocnit diagonální matici $ D$. To lze provést celkem čtyřmi způsoby

$\displaystyle \sqrt D=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \pm 2 & 0\cr
0 & \pm 3\cr\end{array}\right)
$

a dostaneme tedy čtyři různá řešení pro $ \sqrt{A}$

$\displaystyle \sqrt A_{1,2}=\pm \frac{1}{5} \left(\begin{array}{ccccccccccccc} ...
...c{1}{5}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 12 & 2\cr 3 & 13\cr\end{array}\right)$

$\displaystyle \sqrt A_{3,4}=\pm \frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1...
...ght)=\pm \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0 & 2\cr 3 & 1\cr\end{array}\right)$

Na závěr poznamenejme, že je tímto způsobem zřejmě možné odmocnit libovolnou diagonalizovatelnou matici (pokud nejsou vlastní čísla nezáporná, musíme přejít do komplexních čísel). Autorovi příkladu však není známo, jestli existuje odmocnina libovolné matice.

$ \ast$KK$ \ast$