Sinus či odmocnina matice jinak

Úkol: V příkladu 9.6 jsme měli za úkol najít sinus matice, v příkladu 9.7 jsme hledali odmocninu z matice. Metody použité v citovaných příkladech využívaly teorie Jordanova tvaru. Zde si ukážeme, jak můžeme počítat funkce matic (ale jenom některých, viz dále) bez použití Jordanova tvaru. Vaším úkolem bude nejprve dokázat slabší variantu následujícího pozorování


Budiž $ A$ matice, jejíž Jordanův tvar je čistě diagonální (což nastane např. pokud je $ A$ normální tzn. $ AA^\dag =A^\dag A$). Dále necht jsou $ f$ a $ g$ funkce spojité v bodech spektra $ \sigma \left(A
\right)$ a platí $ f(x)=g(x), \ \forall x \in \sigma \left( A \right)
$. Pak je také $ f \left( A \right) =g \left( A \right)$.


Stačí pokud dokážete toto pozorování pro analytické funkce. Toto pozorování použijte k řešení příkladů 9.6, 9.7, tzn. spočtěte


Řešení: Podle předpokladů je Jordanův tvar matice $ A$ čistě diagonální, tudíž existuje diagonální matice $ D$ (na diagonále jsou vlastní čísla $ A$ ) a matice $ C$, pro něž $ A=CDC^{-1}$. Funkce $ f$ a $ g$ jsou podle předpokladů analytické, lze je tedy rozvinout do mocninné řady:

$\displaystyle f(x) = \sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_n x^n\,,\qquad
g(x) = \sum \limits _{n=0} ^{\infty} b_n x^n
$

Pro výpočet funkce matice $ A$ samozřejmě použijeme vyjádření pomocí řady, aneb $ f(A) = \sum _{n=0} ^{\infty} a_n A^n$, obdobně pro $ g(A)$. Za $ A$ dosadíme $ CDC^{-1}$ a dostaneme

\begin{multline*}
f(A)=f(CDC^{-1})= \sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_n (CDC^{-1}...
...
=\sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_n CD^nC^{-1}=Cf(D)C^{-1}\,.
\end{multline*}

Obdobně pro funkci $ g(x)$. Prozkoumejme jak vypadá $ f(D)$. Samozřejmě je

\begin{displaymath}
f(D)=
\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
\sum \limits _{...
...
0 & 0 & \dots & f ( \lambda_m )\end{array}\right)\hskip-2pt
\end{displaymath}

pro $ g(D)$ dospějeme k obdobnému výsledku, pouze na diagonále bude místo funkce $ f \left(\lambda_i \right)$ funkce $ g \left(\lambda_i
\right)$. Ovšem podle předpokladů je $ f \left(\lambda_i \right)=g
\left(\lambda_i \right)$ (připomeňme, že na diagonále matice $ D$ jsou vlastní čísla $ A$) a matice $ f(D)$ a $ g(D)$ jsou proto stejné. Je tedy $ Cf(D)C^{-1}=Cg(D)C^{-1}$, odkud $ f(A)=g(A)$.

Předveďme si nyní využití tohoto pozorování. Chceme spočíst $ \sqrt{A}$, kde

\begin{displaymath}A=
\left(
\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
3 & 7
\end{array}
\right).
\end{displaymath}

Vlastní čísla této matice jsou $ \lambda_{1}=4$, $ \lambda_{2}=9$ a Jordanův tvar je proto nutně diagonální. Funkce odmocnina (označme si ji $ f$) má na spektru hodnoty $ f(\lambda_1)=\sqrt{4}=2$ a $ f(\lambda_2)=\sqrt{9}=3$. Funkci $ g$ nadefinujeme tak, aby v ní vystupovalo pouze násobení a sčítání, čili operace, které jsou na maticích přirozené. Obecně se snažíme, aby funkce $ g$, byla polynomem co možná nejnižšího stupně. Můžeme třeba proložit přímku body $ \left(
\lambda_1, f(\lambda_1) \right)$ a $ \left( \lambda_2, f(\lambda_2)
\right)$, odkud

$\displaystyle g(x)= \frac{1}{5} \left( x + 6 \right).
$

Potom skutečně $ f(\lambda_1)=g(\lambda_1)$ a $ f(\lambda_2)=g(\lambda_2)$. Podle předchozího pak musí být

\begin{displaymath}
\sqrt{A}=\frac{1}{5}\left(A + 6\mathbbm{1}\right)=
\frac{1...
...
\begin{array}{cc}
12 & 2 \\
3 & 13
\end{array}
\right),
\end{displaymath}

což je jeden z výsledků v příkladu 9.7. Ostatní výsledky bychom dostali, pokud bychom položili například $ f(9)=-3$, $ f(4)=2$, atd.


Spočtěme si ještě $ \sin A$, kde

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac {\pi}{2} & \frac {\pi}{4} \\
\frac {\pi}{4} & \frac {\pi}{2}
\end{array}
\right).
\end{displaymath}

Opět označíme $ \sin x$ jako $ f(x)$. Vlastní čísla matice $ A$ jsou $ \lambda_{1}=\frac{3}{4}\pi$, $ \lambda_{2}=\frac{\pi}{4}$ a hodnota funkce $ f$ na spektru je $ f(\lambda_1)=\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{2}\sqrt
{2}$ a $ f(\lambda_2)=\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt {2}$. Fukce $ g$, která se rovná funkci $ f$ na spektru je v tomto případě obzvlášt jednoduchá $ g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tudíž

\begin{displaymath}
\sin A =
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
0 & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right)\,,
\end{displaymath}

a to je naše řešení příkladu 9.6 na pět řádků.

$ \ast$VP$ \ast$