Napůl normální, napůl nilpotentní zobrazení

Úkol: Najděte vlastní vektory a vlastní čísla zobrazení $ d:y\mapsto
y'$ na prostoru $ V=${\Cal L}$ (\{\sin x,\cos x,x\sin x,x\cos x\})$. Najděte Jordanovu bázi prostoru $ V$ vzhledem k zobrazení $ d$. Má zobrazení $ d$ nějaké invariantní podprostory? Je $ V$ rozložitelný na invariantní podprostory?


Řešení: Nemusíme být asi příliš zběhlí v lineární algebře, abychom uhodli, že vlastní funkce $ d$ (s příslušnými vlastními čísly) budou

$\displaystyle \lambda_1=i\,:\quad \mathop{\rm e}^{ix}\nolimits =\cos x+i\sin x\,,\qquad
\lambda_1=-i\,:\quad \mathop{\rm e}^{ix}\nolimits =\cos x-i\sin x\,.
$

Ať se ale budeme namáhat sebevíc, další vlastní čísla ani vlastní funkce (až na násobek těch již nalezených) se nám nepodaří najít. Zkusme tedy k úloze přistoupit systematicky lineárně (algebraicky).

V prostoru $ V$ si zvolíme bázi $ B$ ze zadání (lineární nezávislost si zájemci ověří sami). Zjistíme, jak zobrazení $ d$ působí na vektory báze, a určíme matici $ d$

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccccccc} \sin x & \stackrel{d}{\to} & (0,1,0,...
...cccccccccccc} 0&-1&1&0\cr 1&0&0&1\cr 0&0&0&-1\cr 0&0&1&0\end{array}\right)\,.
$

Bystří tuší, že budeme dále hledat vlastní čísla a vlastní vektory této matice. Charakteristický polynom matice $ d_B$ najdeme nejsnáze jako

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits (d_B-\lambda\mathbbm{1})=\mathop{\rm de...
...ccccccccccccc} -\lambda&-1\cr 1&-\lambda\end{array}\right)=(\lambda^2+1)^2\,,
$

srovnejte s příkladem 9.5c. Vlastní čísla jsou tedy skutečně pouze $ \pm i$. Budeme se věnovat nejprve vlastnímu číslu $ \lambda=i$. Zjistíme, jaká je dimenze kernelu matice $ d_B-i\mathbbm{1}$: z Gaussovy eliminace provedené níže (bez pravé strany) vidíme, že hodnost matice je tři, a tedy dimenze jádra pouze jedna. K číslu $ \lambda=i$ tedy existuje jediný vlastní vektor $ \vec{v}_1$. Ten můžeme také nalézt pomocí níže uvedené Gaussovy eliminace, tentokrát se samými nulami vpravo. Z posledních tří řádků matice na konci úprav plyne, že poslední dvě složky $ \vec{v}_1$ jsou nulové. První řádka říká, že si můžeme například druhou složku zvolit, a zvolíme-li si ji rovnu jedné, vyjde vektor $ \vec{v}_1=(i,1,0,0)$. Neboli právě vlastní funkce $ \cos x+i\sin x=\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits $. Všimněte si, že zatímco složky vektoru $ \vec{v}_1$ záleží na volbě báze, vlastní funkce zobrazení $ d$ (a samozřejmě i vlastní číslo) zůstávají nezměněny.

Dále víme, že není-li $ \dim$Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})$ rovno (aritmetické) násobnosti $ \lambda$, musí posloupnost $ \dim$Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})$, $ \dim$Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})^2$, $ \ldots$ (ostře) růst, dokud této násobnosti nedosáhne. Odpovídající podprostor (kdy se růst zastaví) se nazývá kořenový podprostor, a (lineární obal) sjednocení těchto kořenových podprostorů pro všechna vlastní čísla je celý prostor.

V našem případě tedy musí být $ \dim$Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})^2=2$ a stejně tak i $ \dim$Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})^k$$ k>2$ (zájemci mohou opět ověřit). Zajímá nás báze těchto (totožných30) prostorů.

Jelikož jsme již našli $ \vec{v}_1\in$   Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})$ a hledáme další vektor z  Ker $ {}(d_B-\lambda \mathbbm{1})^2$, stačí31 najít řešení rovnice $ (d_B-i\mathbbm{1})\vec{v}_2=\vec{v}_1$. Potlačíme mírné nechutenství a s gustem se pustíme do Gaussovy eliminace (na způsob příkladu 1.1)

\begin{multline*}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} -i&-1&1&0\cr 1&-i&0&1\cr 0...
...y}{ccccccccccccc} i\cr 2i\cr -2\cr -2i\end{array}\right.\right)
\end{multline*}

Řešení této rovnice je opět nekonečně mnoho, vidíme, že mají tvar $ \vec{v}_2=(0,0,i,1)+\alpha \vec{v}_1$, $ \alpha\in${\bb C}.

Dospíváme k zajímavému závěru. Jordanovu bázi příslušnou k vlastnímu číslu $ i$ tvoří tedy funkce $ x\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits $ a $ \mathop{\rm e}^{ix}\nolimits $ (místo $ x\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits $ lze brát i $ x\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits +\alpha\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits $ s libovolným $ \alpha\in${\bb C}). Teď určitě uhodneme, jaká bude situace u druhého vlastního čísla, a můžeme působení operátoru $ d$ na $ V$ popsat tabulkou

$\displaystyle d:\quad\left\{\begin{array}{lclcl}
x\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits...
...m e}^{-ix}\nolimits &\stackrel{d+i\mathbbm{1}}{\to}& 0\,,
\end{array}\right.
$

která je zobecněním spektrálního rozkladu; o něm se mluví u diagonalizovatelných operátorů: tam obsahuje každý řádek (řetízek) tohoto schématu jediný vektor. Jinak řečeno, v Jordanově bázi $ J=\{\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits ,x\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits ,\mathop{\rm e}^{-ix}\nolimits ,x\mathop{\rm e}^{-ix}\nolimits \}$ má zobrazení $ d$ matici

$\displaystyle d_J=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} i&1&0&0\cr 0&i&0&0\cr 0&0&-i&1\cr 0&0&0&-i\end{array}\right)\,.
$

Tato matice je blokově diagonální, a tedy vektory příslušné jednotlivým blokům odpovídají invariantním podprostorům, na které lze rozložit $ V$. Závěr je: $ V_+=${\Cal L}$ (\{x\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits ,\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits \})$ a $ V_-=${\Cal L}$ (\{x\mathop{\rm e}^{-ix}\nolimits ,\mathop{\rm e}^{-ix}\nolimits \})$ jsou invariantní podprostory a $ V_+\oplus V_-=V$. Všimněte si, že i u matice $ d_B$ byl díky nulovému bloku vlevo dole vidět jeden invariantní podprostor, a to $ V_0=${\Cal L}$ (\{\sin x,\cos x\})$, neboli $ f\in V_0$ $ \Rightarrow $ $ df\in V_0$.

Na závěr si jen pro ujasnění pojmů uvědomte, že zobrazení $ d-i\mathbbm{1}$ je na prostoru $ V_+$ nilpotentní, a to stupně dva (tedy $ (d-i\mathbbm{1})^2$ je na $ V_+$ identicky nulové zobrazení). prostoru funkcí typu $ P(x) \cos nx + Q(x) \sin nx$.

$ \ast$KV$ \ast$