Jak počítat charakteristický polynom matice $ 3\times 3$ pomocí jejích invariantů

Úkol: Budiz dána matice $ 3\times 3$

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\...
...& a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right),
\end{displaymath}

přesvědčete se přímým výpočtem, ze koeficienty charakteristického polynomu ( $ \mathop{\rm det}\nolimits \left(A - \lambda \mathbbm{1}\right)$ jako polynomu v proměnné $ \lambda$) lze vyjádřit pomocí výrazů $ \mathop{\rm Tr}\nolimits A$, $ \mathop{\rm det}\nolimits A$ a $ \mathop{\rm Tr}\nolimits
A^2$ a že jsou tedy nezávislé na volbě souřadné soustavy. Najděte vztah mezi $ \mathop{\rm Tr}\nolimits A$, $ \mathop{\rm det}\nolimits A$, $ \mathop{\rm Tr}\nolimits
A^2$ a vlastními čísly matice $ A$.


Řešení: Použijeme multilinearitu determinantu jako zobrazení, které třem vektorům z  {\bb R}$ ^3$ přiřadí determinant matice, do jejíchž sloupců zapíšeme tyto vektory.

   to \begin{displaymath}\ds
\mathop{\rm det}\nolimits \left(A - \lambda \mathbbm{1}...
...& a _{32} & a _{33} -\lambda
\end{array}
\right\vert
=\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

   to \begin{displaymath}\hfill\ds
=\left\vert
\begin{array}{ccc}
a _{11} & a _{12...
... \\
0 & a _{32} & a _{33} -\lambda
\end{array}
\right\vert.\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

Stejným způsobem pokračujeme, dokud to jde, a nakonec dostaneme

   to \begin{displaymath}\ds \mathop{\rm det}\nolimits \left( A - \lambda \mathbbm{1}\...
...} \\
0 & a _{32} & a _{33}
\end{array}
\right\vert
+\hfill\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

\begin{displaymath}
+\left\vert
\begin{array}{ccc}
a _{11} & 0 & a _{13} \\ 
...
...a & a _{23} \\
0 & 0 & a _{33}
\end{array}
\right\vert
+
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
+
\left\vert
\begin{array}{ccc}
-\lambda & a _{12} & 0 \...
...\lambda & 0 \\
0 & 0 & - \lambda
\end{array}
\right\vert=
\end{displaymath}

$\displaystyle =-\lambda ^3 + \lambda ^2 \left( a_{11} + a_{22} + a_{33} \right)-
$

   to \begin{displaymath}\hfill\ds
\lambda
\left(
\left\vert
\begin{array}{cc}
a...
...{23} \\
a _{31} & a _{32} & a _{33}
\end{array}
\right\vert\end{displaymath}$\displaystyle \hss
$

Všimněte si, že koeficient u  $ \lambda^{k}$ je součet hlavních minorů typu $ (3-k)\times (3-k)$ opatřený znaménkem $ (-1)^k$. Takový hlavní minor je determinant matice, která vznikne z $ A$ vynecháním libovolné $ k$-tice řádků a stejné $ k$-tice sloupců. Toto pravidlo lze dokázat pro charakteristické polynomy libovolné matice $ n\times n$.

Abychom dostali jasnou interpretaci (rozuměj vhodné označení, které nezabírá tolik místa) všech členů v odvozeném vztahu, spočítáme si $ \mathop{\rm Tr}\nolimits
A^2$ a sestavíme výraz $ \frac{1}{2} \big( \left(\mathop{\rm Tr}\nolimits A\right)^2 -
\mathop{\rm Tr}\nolimits ( A^2) \big)$. Výsledkem navrzených výpočtů by mělo být zjištění, ze uvazovaný výraz se stopami je (až na znaménko) koeficientem u první mocniny $ \lambda$. Máme proto

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits \left( A -\lambda\mathbbm{1}\right) =
...
...^2
- \mathop{\rm Tr}\nolimits ( A^2) \big)
+ \mathop{\rm det}\nolimits A\,.
$

Tento vzorec je obzvláště výhodný pro symetrické matice, u kterých je $ \mathop{\rm Tr}\nolimits (A^2)$ rovno součtu kvadrátů všech elementů matice $ A$. U obecných matic je $ \mathop{\rm Tr}\nolimits (A^2)=\sum_{ij} a_{ij}a_{ji}$.

Invariance koeficientů charakteristického polynomu (používá se pro ně také název invarianty matice) je jednoduchým důsledkem právě odvozeného vzorce. Koeficienty jsou tvořeny výrazy $ \mathop{\rm Tr}\nolimits A$, $ \mathop{\rm Tr}\nolimits
A^2$ a $ \mathop{\rm det}\nolimits A$, které jsou stejné pro podobné matice (připomeňte si cykličnost stopy, větu o determinantu součinu a rozmyslete si, ze je-li $ A\sim
B$ pak také $ A^2 \sim B^2$).

Ještě nám zbývá zjistit jaký je vztah mezi koeficienty charakteristického polynomu a vlastními čísly matice $ A$. Vlastní čísla matice $ A$ jsou kořeny charakteristického polynomu. Pro algebraické rovnice platí tzv. Viètovy vzorce, které popisují vztahy mezi koeficienty a kořeny rovnice. Pro kořeny $ x_1,\ldots,x_n$ rovnice

$\displaystyle x^n + a_{n-1}x^{n-1} \cdots +a_1x +a_0=0
$

platí =2pt
$\displaystyle \sum \limits _{i=1} ^n x_i = x_1 +x_2 + \cdots +x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a_{n-1}$  
$\displaystyle \sum \limits _{\stackrel{i,j=1}{\scriptscriptstyle{i<j}}} ^n x_ix_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-2}$  
$\displaystyle \sum \limits _{\stackrel{i,j,k=1}{\scriptscriptstyle{i<j<k}}} ^n x_ix_jx_k = x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \cdots + x_{n-2}x_{n-1}x_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a_{n-3}$  
$\displaystyle {}$ $\displaystyle \cdots$ $\displaystyle {}$  
$\displaystyle \sum \limits _{\stackrel{i_1,\ldots,i_n=1}{\scriptscriptstyle{i_1<i_2< \cdots <i_n}}} ^n x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_n} = x_1x_2x_3 \ldots x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (-1)^n a_0$  

V našem případě je proto
$\displaystyle \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits A~$  
$\displaystyle \lambda_1 \lambda_2 +\lambda_1 \lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \textstyle\frac{1}{2}\big( \left(\mathop{\rm Tr}\nolimits A\right)^2 - \mathop{\rm Tr}\nolimits ( A^2) \big)$  
$\displaystyle \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits A\,,$  

kde $ \lambda_i$ jsou kořeny charakteristického polynomu (vlastní čísla matice $ A$). Nalezli jsme tedy vztah mezi vlastními čísly, stopou, stopou druhé mocniny a determinantem.

$ \ast$VP$ \ast$