Jednorozměrný model krystalu

Úkol: Mějme soustavu $ N$ stejných kuliček, každá o hmotnosti $ m$, navzájem pospojovaných pružinkami o stejné tuhosti $ k$ tak, že tvoří jakýsi řetízek. Krajní kuličky jsou stejnými pružinkami připoutány k pevným stěnám. Při vychýlení některé kuličky z rovnováhy (ve směru podél řetízku, vše bereme jednorozměrně) na ni budou sousední dvě působit silami, které se ji budou snažit vrátit zpět do rovnováhy. Je-li $ x_n$ výchylka $ n$-té kuličky, bude se celý systém řídit soustavou pohybových rovnic32 (nefyzici nechť si představují $ m=k=1$)

$\displaystyle \ddot{x}_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega^2(x_2-2x_1)$  
$\displaystyle \ddot{x}_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega^2(x_3-2x_2+x_1)$  
    $\displaystyle \dots$  
$\displaystyle \ddot{x}_{N-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega^2(x_N-2x_{N-1}+x_{N-2})$  
$\displaystyle \ddot{x}_N$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega^2(-2x_N+x_{N-1})$  

kde $ \Omega^2=k/m$. Z první a poslední rovnice můžeme vyčíst okrajové podmínky: první a $ N$-tá kulička jsou pružinkou spojeny s pevnými body (jako by bylo $ x_0=x_{N+1}=0$).

Pokud si vzpomenete, jak lze druhou derivaci přibližně vypočítat pomocí diferencí, jistě vás nepřekvapí, že vlnová rovnice (pro podélné vlny) v elastickém prostředí má tvar

$\displaystyle {\partial^2 x\over\partial t^2}=c^2{\partial^2 x\over\partial z^2}$

($ x$ je výchylka a $ z$ je souřadnice). Interpretujeme-li vhodně členy v naší soustavě rovnic, můžeme dokonce získat vyjádření pro rychlost vlny $ c$ pomocí materiálových konstant (proveďte).

Vaším úkolem bude najít taková řešení naší soustavy rovnic, při nichž všechny kuličky kmitají se stejnou frekvencí, a určit tyto vlastní frekvence.


Řešení: Soustavu zapíšeme do maticového tvaru

$\displaystyle \ddot{\vec{x}}=-{M}\vec{x},$ (61)

kde

$\displaystyle {M}=\Omega^2\left(
\begin{array}{ccccc}
2&-1&0&\dots&0\\
-1&2...
...0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\dots&2
\end{array}\right).$

Když si vzpomeneme na rovnici pro jednoduché kmity $ \ddot{x}=-\omega^2x$, budeme hledat vlastní čísla této matice ve tvaru $ \lambda=\omega^2$, kde $ \omega$ jsou právě vlastní frekvence kmitů soustavy. Přesněji řečeno: řešení (61) lze formálně napsat jako $ \vec{x}(t)=\exp(i\sqrt{M}t)\vec{x}_0$, a tedy budou vlastní kmity mřížky odpovídat vlastním vektorům $ M$ a frekvence těchto kmitů budou odmocniny z příslušných vlastních čísel. Pokud je počáteční podmínka rovna $ \vec{v}_1$, což je vlastní vektor s vlastním číslem $ \lambda_1$, bude pohyb mřížky popsán $ \vec{x}(t)=\mathop{\rm e}^{i\sqrt{\lambda_1}t}\nolimits \vec{v}_1$, což je stojaté vlnění (vektor $ \vec{v}_1$ je v čase konstantní) s frekvencí $ \sqrt{\lambda_1}$. Komplexní čísla z  $ \vec{x}(t)$ odstraníme podobně jako v příkladu 7.5.

Charakteristická rovnice pro náš systém je

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits {M_{\omega}}=0,\ $   kde$\displaystyle \ {M_{\omega}}=\left(
\begin{array}{cccc}
2\Omega^2-\omega^2&-\...
...dots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\dots&2\Omega^2-\omega^2
\end{array}\right).$

Budeme-li teď hledat vlastní frekvence ve tvaru $ \omega=2\Omega\sin\varphi $, přejde charakteristická rovnice (až na konstantu) na tvar

$\displaystyle D_N=\left\vert\begin{array}{ccccc}
2\cos2\varphi &-1&0&\dots&0\\...
...&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\dots&2\cos2\varphi
\end{array}\right\vert=0.$

Zde si buď vzpomeneme na příklad 8.2, kde stačí položit $ \alpha=-e^{2i\varphi },\beta=-e^{-2i\varphi }$ (zvládli bychom to ale i bez tohoto příkladu, viz příklad 6 z úvodu kapitoly 8), nebo ještě jednou dokážeme indukcí, že

$\displaystyle D_N={\sin2(N+1)\varphi \over\sin2\varphi }.$ (62)

Pro $ N=1$ je to zřejmé, pro $ N=2$ to dá jenom trochu počítání, a dále použijeme rekurentní formuli, kterou získáme rozvojem $ D_N$ podle prvního sloupce:

$\displaystyle D_N=2D_{N-1}\cos\varphi -D_{N-2}.$

Z (62) konečně dostaneme vlastní frekvence jako

$\displaystyle \omega_j=2\Omega\sin{j\pi\over2(N+1)}, \ \ j=1,\dots,N.$ (63)

Pokud si říkáte, že na tohle se přece dá přijít, jenom když víte dopředu, jak to vyjde, snad vás napadne, že by výsledek (63) měl jít také spočítat nějak jinak. Máte samozřejmě pravdu. Fyzikální intuice a analogie s vlnou ve spojitém prostředí (nefyzikům asi tohle řešení bude připadat ještě víc ,,spadlé z nebe'') nám napoví, že by výchylky $ x_k$ mohly být také tvaru ,,vlny''

$\displaystyle x_k=e^{i(qk-\omega t)},$ (64)

kde $ q$ je zatím nespecifikovaný parametr (vlnový vektor; pozor, $ k$ je tady index od $ x_k$, tedy prostorová souřadnice). Dosazením tohoto vyjádření do naší původní soustavy rovnic dá (pro $ k=2,\dots,N-1$)

$\displaystyle -\omega^2=\Omega^2(2\cos(qk)-2)\Rightarrow \omega=2\Omega\sin{qk\over2}.$ (65)

Nakonec si ještě řekneme, že všechny rovnice (včetně $ k=1,N$) budou vypadat naprosto stejně, když formálně položíme $ x_0=0, x_{N+1}=0$ (fyzikálně: první a poslední kulička je pružinkou spojena se zdí). Aby toto mohlo být splněno pro všechny časy, musí v (64) být

$\displaystyle q(N+1)=m\pi\,,$

kde $ m$ je celé. Ale dosazení tohoto do (65) dá výsledek ekvivalentní výsledku předchozímu, a navíc jsme ještě našli přímo vlastní vektory matice $ {M}$ (dopočítejte).

$ \ast$TB$ \ast$