Jak zatočit s maticemi v  {\bb R}$ ^2$

Úkol:

  1. Určete matici otočení okolo počátku o úhel $ \varphi $ {\bb R}$ ^2$. Najděte její vlastní čísla a vlastní vektory. Vynásobením dvou takových matic ověřte, že tyto matice tvoří grupu. Ukažte, že je to právě {\bb SO}$ (2)$, grupa všech ortogonálních matic $ 2\times 2$ s jednotkovým determinantem.

  2. Napište matice otočení v  {\bb R}$ ^3$ okolo souřadných os.

  3. Vysvětlete, proč je množina ortogonálních unimodulárních matic $ 3\times 3$ totéž, co množina všech matic otočení v  {\bb R}$ ^3$.

  4. Pro zadanou matici $ A\in${\bb SO}$ (3)$ určete osu rotace a úhel otočení.


Řešení: 1. Nejprve se musíme přesvědčit, že otočení $ R_\varphi $ okolo počátku v  {\bb R}$ ^2$ je lineární zobrazení {\bb R}$ ^2\to${\bb R}$ ^2$ (a tedy že je vůbec možné jej popsat pomocí matice). Je ale zřejmé, že (1) vyjde nastejno vektor nejprve otočit a pak násobit číslem $ \lambda\in${\bb R} nebo nejprve jej násobit a pak teprve otočit; stejně tak (2) je $ R_\varphi (\vec{v}+\vec{u})=R_\varphi \vec{v}+R_\varphi \vec{u}$.

Obecné lineární zobrazení $ f$ {\bb R}$ ^n$ kamkoliv je plně popsáno $ n$ hodnotami $ f(\vec{v}_1)$, $ \ldots$, $ f(\vec{v}_n)$, kde $ \vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n$ mohou být libovolné lineárně nezávislé vektory (báze {\bb R}$ ^n$). V našem případě si zvolíme vektory $ \vec{v}_1=(1,0)^T$ a $ \vec{v}_2=(0,1)^T$.

Při rotaci o úhel $ \varphi $ proti směru hodinových ručiček se tyto vektory zobrazí následovně

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 0\end{array}\right)\mapst...
...\begin{array}{ccccccccccccc} -\sin\varphi \cr \cos\varphi \end{array}\right).
$

Chceme-li, aby násobením $ (1,0)^T$ maticí $ A_\varphi $ vznikl vektor $ (\cos\varphi ,\allowbreak \sin\varphi )^T$, musíme napsat do prvního sloupce $ A_\varphi $ právě $ (\cos\varphi , \sin\varphi )^T$. Podobně to uděláme s $ (0,1)^T$ a dostaneme výsledek

$\displaystyle A_\varphi =\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \cos\varphi & -\sin\varphi \cr \sin\varphi &\cos\varphi \end{array}\right)\,.$ (66)

Uvažujme nyní matici $ A_\varphi $ jako zobrazení {\bb C}$ ^2\to${\bb C}$ ^2$. Vlastní čísla této matice spočítáme jako kořeny charakteristického polynomu $ {\mathop{\rm det}\nolimits (A_\varphi -\lambda\mathbbm{1})}$. Uveďme jen výsledek spolu s vlastními vektory

$\displaystyle \lambda_1=\mathop{\rm e}^{i\varphi }\nolimits \,: \quad \left(\be...
...mits \,: \quad \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr i\end{array}\right)\,.
$

Jelikož je matice $ A_\varphi $ nesymetrická, mohla skutečně vyjít některá vlastní čísla komplexní. Protože je ale matice $ A_\varphi $ reálná, je možné všechna komplexní vlastní čísla sdružit do komplexně sdružených párů a jim odpovídající vlastní vektory jsou pak také komplexně sdružené: přesně, jak nám to vyšlo.

Že nebude existovat reálné vlastní číslo (pro $ \varphi \ne k\pi$, $ k\in${\bb Z}), jsme mohli také uhodnout předem. V rovině {\bb R}$ ^2$ totiž neexistuje vektor, který by při rotaci o jiný úhel než celočíselný násobek $ \pi$ zachovával směr.

Nyní ukážeme, že násobením matic $ A_{\varphi }$ a $ A_{\varrho }$ vznikne matice $ A_{\varphi +\varrho }$ (neboli že přiřazení matice $ A_\varphi $ rotaci o $ \varphi $ je homomorfizmus). Matice lze přímo vynásobit a použít vzorce pro sinus a kosinus součtu dvou úhlů. My to ale provedeme pomocí diagonálního tvaru matic (uvažujeme rotace o $ \varphi $ a $ \varrho $)

   to $ \ds
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \cos\varphi & -\sin\varphi \cr \sin\v...
...os\varrho & -\sin\varrho \cr \sin\varrho &\cos\varrho \end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \ds =C\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mathop{\rm e}^{i\varphi }\nolimits &...
...ts &0\cr 0&\mathop{\rm e}^{-i\varrho }\nolimits \end{array}\right)C^{-1}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =C\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mathop{\rm e}^{i\varphi }\n...
...0\cr0&\mathop{\rm e}^{-i(\varphi +\varrho )}\nolimits \end{array}\right)C^{-1}=$

   to $ \hfill\ds
=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \cos(\varphi +\varrho ) & -\si...
...rrho )\cr \sin(\varphi +\varrho ) &\cos(\varphi +\varrho )\end{array}\right)\,,$   kde $ C=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&1\cr -i &i\end{array}\right)\,.$$\displaystyle \hss
$

Doplňme, že mezi maticemi $ A_{\varphi }$, $ \varphi \in\langle 0;2\pi)$ tvaru (66) je i jednotková matice a zároveň, že ke každé matici $ A_\varphi $ existuje i její inverze $ A_{-\varphi }$, která je též tvaru (66). Tyto matice tedy tvoří grupu.

Snadno se také můžeme přesvědčit, že všechny (reálné) ortogonální matice33 $ 2\times 2$ s determinantem jedna mají tvar $ A_\varphi $. Jedna možnost je prostě řešit soustavu

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a & b\cr c&d\end{array}\right)...
...\nolimits \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a & b\cr c&d\end{array}\right)=1
$

pro neznámé $ a,b,c,d$. Výhodnější je ale uvědomit si, že $ A^TA=\mathbbm{1}$ znamená: sloupce $ A$ jsou navzájem kolmé vektory délky jedna. Za první sloupec tedy zvolíme obecný vektor délky jedna $ (\cos\varphi , \sin\varphi )^T$ a druhý sloupec pak může být už pouze $ \pm(-\sin\varphi ,\cos\varphi )^T$. Z podmínky $ \mathop{\rm det}\nolimits A=1$ plyne, že musíme zvolit znaménko plus.

Můžeme tedy shrnout

   {\bb SO}$\displaystyle (2)=\{A_\varphi \,,\ \varphi \in\langle 0;2\pi)\}\,.
$


2. Rotace $ R_\varphi ^{x_1}$ kolem osy $ x_1$ {\bb R}$ ^3$ není nic jiného než rotace v rovině $ x_2x_3$ kolem počátku. Při takové rotaci se {\bb R}$ ^3$ rozpadá na direktní součet dvou podprostorů $ V_1=${\Cal L}$ \big((1,0,0)\big)$ a $ V_{23}=${\Cal L}$ \big(\{(0,1,0),(0,0,1)\}\big)$, na nichž působí rotace odděleně (což zapisujeme jako {\bb R}$ ^3=V_1\oplus
V_{23}$). Jinak řečeno platí

$\displaystyle \vec{v}_1\in V_1,\ \vec{v}_2\in V_{23}\ \Rightarrow \
R_\varphi ^{x_1}\vec{v}_1\in V_1,\ R_\varphi ^{x_1}\vec{v}_2\in V_{23}\,.
$

Říkáme, že {\bb R}$ ^3$ je vůči lineárnímu zobrazení $ R_\varphi ^{x_1}$ rozložitelný na invariantní podprostory $ R_\varphi ^{x_1}$. Matice rotace $ A_\varphi ^{x_1}$ bude mít tedy blokově diagonální tvar a bloky budou odpovídat působení $ R_\varphi ^{x_1}$ na $ V_1$ a $ V_{23}$. Působení na $ V_{23}$ již známe (vztah 66) a působení na $ V_1$ je jednoduché: při rotaci $ R_\varphi ^{x_1}$ zůstávají vektory z $ V_1$ nezměněny. Proto je

$\displaystyle A_\varphi ^{x_1}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr 0&\cos\varphi &-\sin\varphi \cr 0&\sin\varphi &\cos\varphi \end{array}\right)\,.$ (67)

Matice rotací okolo os $ x_2$ a $ x_3$ dostaneme při cyklické záměně souřadnic $ x_1,x_2,x_3$

$\displaystyle A_\varphi ^{x_2}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \cos\varphi &...
...i &-\sin\varphi &0\cr \sin\varphi &\cos\varphi &0\cr 0&0&1\end{array}\right)\,.$ (68)


3. Klíčové je vědět, že ortogonální matice $ 3\times 3$ s jednotkovým determinantem, tedy matice z  {\bb SO}$ (3)$, zachovávají (složkový) skalární součin

$\displaystyle A\vec{x}\cdot A\vec{y}= A^TA\vec{x}\cdot \vec{y}=\vec{x}\cdot \vec{y}\,.
$

Důsledkem pak je, že se zachovávají i délky vektorů: $ \vert A\vec{x}\vert=\sqrt{A\vec{x}\cdot A\vec{x}}=\sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}=\vert\vec{x}\vert$. Potom ovšem musí být všechna vlastní čísla $ A$ v absolutní hodnotě rovna jedné.

Jelikož je stupeň charakteristického polynomu matice $ A$ tři a součin jeho kořenů je roven $ \mathop{\rm det}\nolimits A=1$, zbývá pouze možnost, že jsou jeho vlastní čísla $ 1,\mathop{\rm e}^{i\varphi }\nolimits ,\mathop{\rm e}^{-i\varphi }\nolimits $. Matice $ A$ je tedy podobná matici $ \mathop{\rm diag}\nolimits (1,\mathop{\rm e}^{i\varphi }\nolimits ,\mathop{\rm e}^{-i\varphi }\nolimits )$ a tato matice je zase podobná matici (67), neboli matici rotace kolem osy $ x$. Podobnost těchto matic pak znamená, že existuje báze, v níž je zobrazení $ A\vec{x}\mapsto\vec{x}$ rotací kolem osy $ x$.


4. Násobky vlastního vektoru příslušného vlastnímu číslu jedna jsou jediné vektory, které zůstanou působením matice nezměněny: definují proto osu rotace. Matice $ A$ je kromě toho podobná matici (67), její vlastní čísla jsou tedy $ 1,\mathop{\rm e}^{i\varphi }\nolimits ,\mathop{\rm e}^{-i\varphi }\nolimits $. Stopa $ A$ je tedy

$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits A=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1+2\cos\varphi \,.
$

Pro libovolnou matici $ A\in${\bb SO}$ (3)$ určíme tudíž úhel rotace ze vztahu

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm Tr}\nolimits A - 1}{2}=\cos\varphi \,.
$

$ \ast$KV$ \ast$